Gráficas de una funciones racionales Profa. Caroline Rodríguez UPRA MATE 3011

Una función racional es una función que se puede expresar de la forma donde f(x) y g(x) son funciones polinómicas. Ejemplos:

Consideremos la función racional: Hasta ahora sabemos que: El dominio de f(x) es D: NO tiene intercepto en x. El intercepto en y es y = - ½. No podemos trazar la gráfica correctamente con un sólo punto.

Aunque x=2 NO pertenece al dominio podemos observar lo que ocurre con valores que están muy cerca de x=2 (un poco mayor o un poco menor).

Grafiquemos algunos puntos Si se eligen valores para la x un poco mayores que 2 (2.01, 2.001, etc) , los valores de la función se hacen muy grandes. Si se eligen valores para la x un poco menores que 2 (1.9, 1.99, etc) , los valores de la función se hacen muy pequeños.

Grafiquemos algunos puntos Estos puntos los podemos unir con una curva, disyunta, suave que se extiende en direcciones opuestas.

Los puntos se acercan a esta línea vertical entrecortada, x=2, por ambos lados, pero extendiéndose en direcciones opuestas. La línea vertical, x=2, separa la gráfica en dos partes disyuntas. x=2 se llama una asíntota vertical

Veamos que ocurre con los valores de la gráfica a medida que x se hace muy grande o muy pequeño. (Comportamiento en los extremos)

A medida que los valores de x se hacen más negativos, los valores de la función (y) se acercan más y más a cero. A medida que los valores de x se hacen más positivos, los valores de la función (y) se acercan más y más a cero.

En este caso, la línea y=0 se llama una asíntota horizontal, porque los valores de la función se quedan bien cerca de esta línea a medida que x aumenta o disminuye grandemente..

Hallar las asíntotas de funciones racionales Asíntotas Verticales Una función racional tiene una asíntota vertical cuando el denominador de la función simplificada es igual a 0. Una función racional está simplificada si NO existen factores comunes, distintos de uno, entre el numerador y denominador.

Hallar la(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s) vertical(es) si existe(n). Calculamos los valores de x que hacen el denominador igual a cero: 2 + 2x = 0  x = -1 La recta x = -1 es la única asíntota vertical de la función.

Asíntotas de funciones racionales

Asíntotas horizontales Las asíntotas horizontales aparecen cuando ocurre una de las siguientes condiciones: 1. El grado del numerador es menor que el grado del denominador. En este caso, la asíntota es la recta horizontal y = 0. El eje de x (y=0) es la asíntota horizontal de las gráficas de f(x) y g(x)

Asíntotas horizontales 2. El grado del numerador es igual al grado del denominador. En este caso, la asíntota es la recta horizontal y = a/b, donde a es el coeficiente principal del numerador y b es el del denominador. La asíntota horizontal de la gráfica de f(x) es g(x) es

Asíntotas horizontales 3. Cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador la función NO tiene asíntota horizontal. Las gráficas de f(x) y g(x) NO tienen asíntota horizontal

Hallar la(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s) horizontal(es) si existe(n). El grado del numerador y del denominador es 1. La asíntota vertical de la f(x) es la recta

Asíntotas de funciones racionales

Gráficas de funciones racionales Para trazar gráficas de funciones racionales podemos seguir los siguientes pasos: Determinar asíntotas verticales. Determinar asíntotas horizontales. Determinar interceptos. Determinar comportamiento alrededor de las asíntotas. Tal vez necesites determinar algunos puntos adicionales. Unir puntos con curvas suaves.

Gráficas de funciones racionales Los interceptos quedan en un mismo pedazo de la gráfica. Podemos unir esto dos puntos con una curva suave que se acerca a las asíntotas.

Gráficas de funciones racionales Debemos evaluar la función en algunos otros puntos para localizar la otra parte de la gráfica.

Gráficas de funciones racionales Debemos evaluar la función en algunos otros puntos para localizar la otra parte de la gráfica.

(ecuación de la asíntota) Trazar la gráfica de: Intercepto - y: Asíntota vertical: Calculamos los valores de x que hacen el denominador igual a cero: 3 – x = 0  x = 3 (ecuación de la asíntota) Intercepto - x Asíntota horizontal: (ecuación de la asíntota)

Puntos adicionales x -5 -10/8 = -1.25 2.5 3 5/.5 = 10 3.5 Undefined 5 2.5 3 3.5 5 10 50 -10/8 = -1.25 5/.5 = 10 Undefined 7/-.5 = -14 10/-2 = -5 20/-7 = -2.86 100/-47= -2.13

Trazar la gráfica de: Posibles asíntotas verticales: x = 0 y x = 2 -2 -1 -.5 -.1 1 1.5 1.9 2 -3 -19 Und 3 2.33 2.05 und Posibles asíntotas verticales: x = 0 y x = 2 Comportamiento de la función alrededor de estos valores: Cerca de 0, los valores de f(x) van aumentando. Sin embargo esto no ocurre cerca del 2.

Las asíntotas verticales son los valores que hacen cero el denominador en una expresión racional simplificada. Las funciones y son equivalentes excepto en x = 2. NO tiene una asíntota en x = 2. La gráfica tiene un hueco.

Por lo tanto, la asíntota horizontal es y = 1. Para identificar asíntotas horizontales, examinemos qué ocurre con los valores de y, cuando x toma valores bien grande. Al igual que en los casos anteriores, podemos identificar la ecuación de la asíntota horizontal dividiendo el coeficiente principal del numerador entre coeficiente principal del denominador. x 10 100 1000 1.2 1.02 1.002 Por lo tanto, la asíntota horizontal es y = 1.

Gráficas de funciones racionales Hueco en la gráfica. Asíntota horizontal en y = 1. Asíntota vertical en x = 0.

Trazar la gráfica de: Primero simplicamos la función. La recta vertical x = 3 es la única asíntota vertical de esta función. La recta horizontal y = 2 es la asíntota horizontal de esta función.

Trazar la gráfica de: Determinemos los interceptos.

Trazar la gráfica de: Busquemos un punto adicional: NOTE el hueco en el punto