Funciones

Objetivos:  Identifican las variables que están involucradas en funciones que modelan situaciones de la vida cotidiana.  Identificar y evaluar funciones y variables.

Analicemos la siguiente situación  Marcos cotiza el revelado de fotos en una tienda. Por revelar el rollo le cobran $1.000 y por cada foto que salga le cobran $50. Decide calcular el monto que debe pagar al revelar el rollo, dependiendo del número de fotos. P= F Donde P es el precio que debe pagar por revelar F fotos

 Una función es un objeto matemático que se utiliza para expresar la dependencia entre dos magnitudes, y puede presentarse a través de varios aspectos complementarios. Un ejemplo habitual de función numérica es la relación entre la posición y el tiempo en el movimiento de un cuerpo.

 Un móvil que se desplaza con una aceleración de 0,66 m/s 2 recorre una distancia d que está en función del tiempo transcurrido t. Se dice que d es la variable dependiente y t la variable independiente. Estas magnitudes, calculadas a priori o medidas en un experimento, pueden consignarse de varias maneras. (Se supone que el cuerpo parte en un instante en el que se conviene que el tiempo es t = 0 s.)aceleración  Los valores de las variables pueden recogerse en una tabla, anotando la distancia recorrida d en un cierto instante t, para varios momentos distintos:tabla

Determina en cada caso si la relación entre las dos variables corresponde a una función o no  Un número natural y su doble.  El nombre de una persona y su edad.  El perímetro de un cuadrado y su área.  La estatura de una persona y su peso.  Un número entero y su antecesor.  La dimensiones de una sala de clases y los litros de pintura, para pintarla.

Definición de función: Una función es una relación entre dos variables x e y, que se puede representar o modelar por una ecuación de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Usualmente se escribe y = f(x), esto se lee “y es igual a f de x” Se llama variable dependiente a la variable y, ya que su valor depende de la variable x, que es la variable independiente. Ejemplo: La función que relaciona cada numero con su doble mas una unidad

Evaluar una función  Es obtener el valor que la función le asocia a un valor determinado de x. Ejemplo:

Ejercicio:  El sueldo de un trabajador depende de las horas que trabaje al mes. Si su sueldo base es de y por cada hora extra de trabajo por cada hora le pagan $ 5500 ¿ cuál es la función que permite calcular el dinero que recibirá según las horas extras que trabaja al mes?, ¿Cuánto ganara si trabaja 10 horas extra en el mes?

AB f a x b = f(a) y = f(x) En fin, se habla de función si tenemos una relación f entre dos conjuntos A y B, f se dirá función si a cada valor del conjunto de partida A le corresponde uno y sólo un valor en el conjunto de llegada B. Conjunto de partida Conjunto de llegada Se dirá que y es la imagen de x por la función de f, en símbolos es de la forma y=f(x). Una manera de representar una función, es mediante una gráfica en un sistema de coordenadas cartesianas.

Ejercicios:

Sean los conjuntos A={a,b,c} y B{1,2,3,4}. ¿Cuál de las siguientes relaciones representa una función de A en B? a) {(a,1);(b,2);(a,3);(c,4)} b) {(a,3);(b,3);(c,3)} c) {(a,4);(c,2);(b,1)} d) {(a,1);(a,2);(a,3);(a,4)} e) {(c,2);(b,1)} f) {(a,1);(b,2);(b,3)}

Si una función f esta definida por y = x + 5, puede escribirse también como f(x) = x + 5

Conceptos fundamentales: Dominio: es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la función y se denota Dom f. También corresponde al conjunto de las preimágenes (conjunto de partida). Codominio: lo que es posible obtener de una función (conjunto de llegada). Recorrido: es el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente (Y), y se denota Rec f. También corresponde al conjunto de las imágenes.

Pares ordenados: se compone de dos elementos “x” e “y”, escribiéndose (x,y), donde “x” es el primer elemento e “y” el segundo elemento. Ejemplo: Con los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {a, b}, obtener los productos cartesianos AxB y BxA. y como conjunto, resulta:

Ejemplos: De las siguientes relaciones entre los conjuntos, determine su dominio, codominio, recorrido y además si es o no función:

abcdeabcde AB f Ejercicios 1. 2.

3. 4.

Realizar actividad 2 página 139 del libro Página 58 cuadernillo, actividad 1

¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones? Indica su Dominio y su Recorrido. a. { (2,6), (4,12), (6,18), (8,24) } b. { (1,1), (2,2), (3,3) } c. { (3,6), ( 5, 8), (7,10), (3,9)}

Evaluación de una función

2.

Ejercicios

Trabajan en la página 58 del cuadernillo actividad n° 2  Realizar en conjunto Página 138 y 139 (actividad n° 3 y 4) del libro  Trabajan en guía n° 1 de funciones

El Plano Cartesiano Es un sistema de ejes coordenados utilizado principalmente en Geometría analítica. Consta de dos rectas numéricas que se cortan perpendicularmente en el origen. A la recta horizontal se le conoce como eje de las abscisas (eje X) y a la recta vertical como eje de las ordenadas (eje Y).

Ejemplo: Ubique los siguientes puntos en el plano cartesiano: A (0, - 2) B (-6, 0) C (5, 3) D (1, - 3) E (- 4, 5) F (- 2, - 2) G (4, 1) H (- 1, - 4)

PENDIENTE  La pendiente permite obtener el grado de inclinación que tiene una recta.  Si en un plano cartesiano se tienen los puntos A(x ₁,y ₁ ) y B(x ₂,y ₂ ), entonces la pendiente se designa con la letra “m” y corresponde al cuociente:

POSICIONES RELATIVAS DE UNA PENDIENTE

Ejemplos: Calcule la pendiente de las siguientes rectas y determine el ángulo que forma con el eje x:

Ejercicios  En cada caso, calcule el valor de la pendiente

GRAFICA DE ECUACIONES 1) Realizar una tabla de valores 2) Se escogen 2 valores de “x” como mínimo 3) Se reemplazan en la función 4) Con el valor de “y” obtenido, se obtiene el par ordenado correspondiente al punto que se debe graficar

Ejemplos:

EJERCICIOS  Grafique las siguientes funciones en el plano cartesiano.

Página 143 (actividad n° 1)  Página 148 del libro

Función lineal