Lógica de Primer Orden Conceptos básicos

Un lenguaje más expresivo La lógica proposicional tiene recursos expresivos muy limitados: -No permite identificar elementos que se repiten dentro de las oraciones: Frodo es un hobbit  p Sam es un hobbit  q Frodo tiene ojos azules  r Sam no tiene ojos azules  ¬s Sam es amigo de Frodo  t Frodo es amigo de Sam  u

Un lenguaje más expresivo -Tampoco tiene recursos para tratar con ciertas partículas que tienen valor lógico, como cuantificadores e identidad: Todos los hobbits habitan en la Comarca  p Ningún orco habita en la comarca  q Algunos hobbits no han salido de la Comarca  r Trancos es el mismo que Aragorn  s Trancos es distinto de Sam  t Sauron odia a todos, incluso a sí mismo  p 1  p 2

Un lenguaje más expresivo - En consecuencia, hay muchos argumentos válidos que el lenguaje de la lógica proposicional no permite expresar: Todos los hobbits habitan en la comarca  p Ningún habitante de la comarca sufre de estrés  q Por tanto, ningún hobbit sufre de estrés  r -Lo formalizamos como condicional: (p  q)  r y vemos que el argumento es inválido dado que este condicional puede ser falso

Un lenguaje más expresivo El lenguaje que nos va a permitir recoger todos esos elementos es el de la lógica de predicados, también llamada lógica cuantificacional, lógica de relatores o, en general, lógica de primer orden. La lógica proposicional (L 0 ) es sólo un parte de esta lógica (L 1 ). Podríamos seguir construyendo sucesivos lenguajes lógicos (L 2, L 3...) que recogiesen subsiguientes niveles de complejidad.

El alfabeto de L 1 L 1 mantiene en su lenguaje todas las conectivas lógicas de L 0 : ¬, , , ,  Pero en vez de constantes proposicionales, construye expresiones más complejas por medio de símbolos para: 1.Individuos particulares 2. Propiedades y relaciones 3. Cuantificadores 4. Expresiones de identidad

Expresiones para objetos particulares -Son aquellas expresiones que identifican un individuo, sea persona, objeto, lugar... -Las más típicas son los nombres propios “simples”: Frodo, Sam, ‘Smeagol’, Tom Bombadil... Anduril, Barad-Dûr, Tierra Media, Gondor... -Pero a menudo identificamos los individuos por medio de expresiones complejas, generalmente las descripciones definidas.

Las descripciones definidas son construcciones del tipo : ARTÍCULO DETERMINADO + SINTAGMA NOMINAL el portador del anillo el mejor amigo del portador del anillo el nombre hobbit de la criatura llamada Gollum el Señor del Bosque Viejo que no sale en la película la espada de Aragorn la Torre Oscura la tierra en la que se desarrollan las historias de Tolkien el reino que Aragorn está llamado a heredar Expresiones para objetos particulares

En muchos casos la expresión definida es nuestro mejor o único modo de nombrar un objeto: el Anillo Único el dedo gordo del pie derecho de Gandalf el último orco que muere en la novela el enano más alto de la Tierra Media el personaje más a la derecha en el fotograma Expresiones para objetos particulares

Las expresiones que nombran objetos particulares las simbolizaremos por las letras: a, b, c,... (minúsculas) o bien, para tener cuantos queramos: a 1, a 2, a 3... Cada letra identifica a un individuo, de modo que si simbolizamos Frodo  a, cada vez que aparezca Frodo emplearemos la misma letra individual: a Expresiones para objetos particulares

Existen expresiones con la construcción ARTÍCULO DETERMINADO + SINTAGMA NOMINAL que no nombran objetos individuales: 1. El troll de las cavernas golpeó con su maza 2. El troll de las cavernas es una criatura peligrosa ¿Son equivalentes las expresiones subrayadas? Expresiones para objetos particulares NO NECESARIAMENTE: 1 nombra a un individuo particular; pero 2 puede referirse a la criatura como clase. 2 sería así típicamente equivalente a: 2’. Los trolls de las cavernas son criaturas peligrosas

Son aquellas expresiones por las que decimos algo de algún objeto (o conjunto de objetos) y de sus relaciones con otros objetos. Típicamente se identifican por medio de un verbo que empleamos para predicar algo de cierto objeto:... es un hobbit... es valiente... camina despacio... es amigo de odia a está entre.... y.... Propiedades y relaciones

Simbolizamos las expresiones predicativas por medio de las letras: P, Q, R,... o para tener un número ilimitado de predicados: R 1, R 2, R 3,... Con frecuencia se usa, como recurso mnemotécnico, la inicial del verbo u otra palabra del predicado: es hobbit  Hama a  A Propiedades y relaciones

Ni los objetos particulares, ni las expresiones predicativas dan lugar por sí solos a enunciados con valor de verdad. Obtenemos éstos cuando combinamos ambos tipos de expresiones, i.e., cuando completamos los “huecos” o argumentos a que da lugar una expresión predicativa. Llamamos: MONARIOS a los predicados con un solo argumento: _ es hobbit _ es valiente _ camina despacio BINARIOS a los que tienen 2: _ es amigo de _ _ odia a _ _ está en _ TERNARIOS a los que tienen 3: _ está entre _ y _ _ prefiere _ a _ Propiedades y relaciones

Sean los siguientes individuos: Frodo  aSam  bSauron  c Y los siguientes predicados: monarios: es hobbit  Hes comilón  C binarios: ama a  A odia a  O ternarios: prefiere... a  P Saturando predicados

Frodo es hobbitHa Sam es hobbitHb Frodo y Sam son hobbits Ha  Hb PERO NO: Hab H es un predicado monario, y sólo toma un argumento Sam es comilón pero Frodo noCb  ¬Ca Sam es un hobbit comilónHb  Cb Sauron no es hobbit ni comilón¬Hc  ¬Cc Saturando predicados monarios

Frodo ama a Sam: Aab Sam ama a Frodo:Aba Como convención, colocamos el agente (o el sujeto de una oración activa) en primer lugar Sam es amado por Frodo:Aab Sam y Frodo se aman:Aab  Aba Si Sauron odia a Frodo, odia a Sam: Oca  Ocb Sauron se odia a sí mismo: Occ Saturando predicados binarios

Sauron prefiere a Frodo antes que a Sam Pcab Sauron prefiere a Sam antes que a Frodo Pcba El orden de los términos individuales es convencional: lo importante es que se mantenga coherencia en la interpretación de la expresión Saturando predicados ternarios

Las expresiones individuales y predicativas no tienen valor lógico: se limitan a captar de una manera más rica lo que dicen los enunciados. Si en un argumento válido sustituimos uniformemente las apariciones de estos términos por otros cualesquiera, la validez del argumento no se ve afectada. Pero, al igual que las conectivas, los cuantificadores y los signos de identidad sí tienen valor lógico. Cuantificación

Supongamos que queremos referirnos a la totalidad de los individuos de un cierto grupo. Una manera de hacerlo sería nombrando a cada uno de los individuos del grupo: Frodo, Sam, Bilbo,..., Zutano Llamamos a este modo EXTENSIONAL. Si queremos decir que todos ellos tienen determinada propiedad, v.g., ser hobbit, podemos predicar esta propiedad de cada individuo: Frodo es hobbit, Sam es hobbit,..., Zutano es hobbit = Ha  Hb ...  Ha Cuantificación

Obviamente, para grupos grandes de objetos este método es engorroso. Es más, el método es inservible para conjuntos infinitos de objetos, v.g., el conjunto de los números naturales. La cuantificación consiste en utilizar ciertas partículas lógicas para referirse a cantidades de individuos de un cierto grupo. Así, para referirnos al grupo anterior, podemos decir Todos son hobbits Cuantificación: cuantificadores

Otros cuantificadores se emplean para decir algo de una cierta cantidad de individuos de un grupo. Si consideramos el grupo de los habitantes de la Tierra Media, podemos decir que Algunos son hobbits La mayoría son mortales Muchos temen a Sauron Pocos han tocado el Anillo Único Ninguno ha nacido en Villanueva del Trabuco Cuantificación: cuantificadores

Aunque estos cuantificadores tienen obvias diferencias de significado, en lógica de primer orden se reducen a tan sólo 2: - cuantificador universal:  equivale a TODOS - cuantificador existencial:  equivale a AL MENOS UNO Cuantificación: cuantificadores

Una afirmación como Todos son hobbits equivale a decir que cualquier individuo (del grupo en cuestión) tiene la propiedad ‘ser hobbit’. Para referirnos a individuos cualesquiera no nos bastan las constantes individuales: necesitamos introducir VARIABLES, i.e., símbolos que pueden tomar como valor cualquiera de los individuos de un grupo. Para expresar variables usaremos los símbolos x, y, z,.... o, en general, x 1, x 2, x 3,... Cuantificación: variables

Con los cuantificadores y las variables ya podemos formalizar expresiones como: Todos son hobbits:  xHx lo cual significa que para todo individuo, ese individuo tiene la propiedad de ser hobbit Algunos son hobbits:  xHx lo cual significa que hay al menos un individuo que tiene la propiedad de ser hobbit Cuantificación: variables

Las constantes individuales y las variables son TÉRMINOS. Cuando en una fórmula sustituimos una variable x por un individuo a, estamos diciendo que a cumple las condiciones establecidas por la fórmula (i.e., que tiene determinadas propiedades o relaciones). Sea la fórmula  x(Hx  Cx) nos dice que si un individuo cualquiera tiene la propiedad H entonces tiene la propiedad C. Esto es: si uno es un hobbit, entonces es comilón. Por tanto, del individuo a será cierto que Ha  Ca = Si Frodo es hobbit, es comilón Cuantificación: variables

Cuantificando predicados binarios Si Frodo ama a Sam  Aab ¿cómo expresar Alguien ama a Sam? Esta expresión equivale a Hay al menos un individuo que ama a Sam   xAxb Igualmente, podemos expresar Frodo ama a alguien como Hay al menos un individuo a quien Frodo ama  yAay

Cuantificando predicados binarios Siguiendo el mismo patrón, podemos expresar Todos aman a Sam como:  xAxb Igualmente, podemos expresar Frodo ama a todos como:  xAax

Cuantificando predicados binarios Para expresar a) Alguien ama a alguien b) Todos aman a todos es fundamental darse cuenta de 2 cosas: 1)Estas oraciones no hacen referencia a ningún individuo en particular. Por tanto, habrá que expresarlas sólo con variables. 2)Tanto (a) como (b) hacen referencia a relaciones que se dan entre dos grupos de individuos. Por tanto, habrá que asignar una variable distinta a cada grupo.

Cuantificando predicados binarios a) Alguien ama a alguien equivale a decir que Hay al menos un individuo que ama a al menos un individuo Esto puede expresarse así:  x  yAxy b) Todos aman a todos equivale a decir que Cualquier individuo ama a cualquier individuo Esto puede expresarse así:  x  yAxy

Cuantificando predicados binarios Nótese que cada cuantificador “va con” una variable. Diremos que la variable en cuestión está LIGADA por ese cuantificador. Respetar el orden en que cada cuantificador liga cada variable es fundamental para poder formalizar expresiones más complejas, como c) Alguien ama a todos d) Todos aman a alguien

Cuantificando predicados binarios c) Alguien ama a todos  x  yAxy podemos leerlo como existe al menos un individuo x tal que para cualquier individuo y, x ama a y d) Todos aman a alguien  x  yAxy podemos leerlo como para cualquier individuo y, existe al menos un individuo x tal que x ama a y

Cuantificando predicados binarios La expresión d) Todos quieren a alguien tiene una posible ambigüedad. En ciertos contextos puede entenderse como: d 1 ) Hay un individuo a quien todos quieren  y  xAxy Esto es cierto si ocurre que hay un individuo particular, v.g. Frodo, a quien todo el mundo quiere.

Cuantificando predicados binarios En otros d) Todos quieren a alguien se entiende como: d 2 ) Todos quieren a alguna persona  x  yAxy Esto es cierto si todo el mundo quiere a alguna persona, pero no necesariamente quieren todos al mismo. Veremos que d 2 es consecuencia lógica de d 1, pero no a la inversa.

Cuantificando predicados binarios ¿Cómo se formaliza Todo el mundo es amado por alguien? Si lo entendemos como que hay una persona que ama a todo el mundo:  x  yAxy Si lo entendemos como que todos tienen alguien que les ame:  y  xAxy

Cuantificando predicados binarios Compárese verticalmente el orden de los cuantificadores y horizontalmente el orden en que ligan las variables: Todos aman a alguien  y  xAxy  x  yAxy Todos son amados por alguien  x  yAxy  y  xAxy

Si queremos expresar relaciones como SER EL MISMO y SER DISTINTO, podríamos usar un predicado binario: Trancos es el mismo que Aragorn dMe  Mde Pero este predicado desempeña un papel lógico tan importante que empleamos un símbolo especial para él: ser el mismo que: =d = e (Trancos es Aragorn) ser distinto que: ≠d ≠ a (Trancos no es Frodo) También podemos expresar éste como ¬d = a Identidad

Nuestro lenguaje sólo expresa identidad entre individuos. Por tanto, el signo = sólo puede estar flanqueado por términos. Son correctas: a = ba ≠ x  x(x = a)  x(x = x) Son incorrectas: H = CHa = Ca  x(Hx = a)  x =  x Identidad

Los símbolos de L 1 son: -Constantes individuales:a, b, c, a Variables individuales:x, y, z, x Predicados o relatores:P, Q, R, R Cuantificadores: ,  -Identidad:=, ≠ -Conectivas:¬, , , ,  -Auxiliares:), (, ], [ Alfabeto de la lógica de primer orden términos

(i)Si R es un relator n-ario y t 1... t n son términos, entonces la secuencia R t 1... t n es fórmula. (ii)Si t 1, t 2 son términos, t 1 = t 2 es fórmula (iii)Si  es fórmula y v es una variable, son fórmulas:  v  y  v  (iv)Si  es fórmula, ¬  es fórmula (v)Si  y  son fórmulas, son fórmulas: (    ) (    ) (    ) (    ) (vi)Sólo son fórmulas las secuencias que satisfacen alguna de las cláusulas (i-v) Reglas de formación

(i)Si R es un relator n-ario y t 1... t n son términos, entonces la secuencia R t 1... t n es fórmula. Supongamos que P es monario, son fórmulas: PaPbPcPxPyPx 2... Supongamos que Q es binario, son fórmulas: QabQbaQaaQxaQaxQxyQzz... Supongamos que R es ternario, son fórmulas: QabcQbcaQaaaQxayQaxxQxyzQyyy... Reglas de formación (i)

(ii)Si t 1, t 2 son términos, t 1 = t 2 es fórmula Según esto son fórmulas: a = bb = aa = aa = xx = c x = y y = y z = x 1... Reglas de formación (ii)

Malas aplicaciones de (i) y (ii): Pabcuando P es un predicado monario aPborden incorrecto de términos PQaa un predicado debe seguir algún término PxQy no pueden “yuxtaponerse” fórmulas Pa=b el = sólo puede flanquearse por términos a=bc más de un término a un lado del = a=b=c no se pueden “encadenar” signos de = Reglas de formación (ii)

(iii)Si  es fórmula y v es una variable, son fórmulas:  v  y  v  Dadas también las reglas (i) y (ii), son fórmulas:  xPa  xPx  xPy  yQxy  zRxaz  x a=b  x x=a  y x=x  z z=x...  xPa  xPx  xPy  yQxy  zRxaz  x a=b  x x=a  y x=x  z z=x... Reglas de formación (iii)

Y aplicando de nuevo (iii) sobre las anteriores, también son fórmulas:  x  xPa  x  xPx  x  xPy  y  xQxy...  x  xPa  x  xPx  x  xPy  x  yQxy...  x  xPa  x  y x=y  y  x a=x...  x  xPa  y  x y=x  x  z z=y... Y de nuevo:  x  x  xPa  x  y  zRxyz  x  y  yPz...  y  x  y y=x  x  y  x a=b...  x  y  x  y  x  y  x  y  x  y  x  y  xPa... Reglas de formación (iii)

Muchas de las fórmulas anteriores pueden resultar “extrañas”, cuando uno intenta traducirlas a posibles expresiones del lenguaje natural. Como veremos, no todas ellas corresponden a alguna oración, i.e., a alguna expresión con valor de verdad: sólo lo hacen las que constituyen sentencias. Reglas de formación (iii)

Malas aplicaciones de (iii):  Pa el cuantificador  no va seguido de variable  xQxy ídem respecto a   bPb ídem: b es constante, no variable  x x a la variable del cuantificador no le sigue una fórmula  y y=  x ídem: el = no está flanqueado por 2 términos  xPx = ¬  x¬Px otra mala aplicación de (ii) Reglas de formación (iii)

(iv) Si  es fórmula, ¬  es fórmula Dadas también las reglas (i-iii), son fórmulas: ¬Pa ¬Px ¬Qxa ¬Rayz ¬¬Pz... ¬a=b ¬x=a ¬y=z ¬¬x=x... ¬  xPa ¬  yQxy  y¬Px ¬¬  x ¬x=a... ¬  xPx ¬  xQbx  y¬Qxy  z ¬z=z... ¬  x  xPx ¬  y  xQxy  y¬  xQxy... ¬  x  xPy ¬  x¬  xPx  x¬¬  x ¬y=y... ¬¬¬  x  x¬  x  z  y¬¬¬  x  y¬  y¬¬¬¬Pz... Reglas de formación (iv)

Malas aplicaciones de (iv): a¬=b el ¬debe ir delante de una fórmula ¬a=¬b a=¬b no es fórmula P¬a tras el predicado debe ir algún término t: pero ¬t no es término  ¬xPx tras el cuantificador debe ir una variable v: pero ¬v no es variable Reglas de formación (iv)

(v) Si  y  son fórmulas, son fórmulas: (    ) (    ) (    ) (    ) Dadas también las reglas (i-iv), son fórmulas: (Pa  Pb) (Px  Qxy) (Px  x=a) (a=b  b=a) (Pz   xPy) (  xPx   xQyx) (Px   x x=a) (  x x=b  ¬  xPb)  x(Px  Qx)  x(Py   xQy) (  xPx   xPx)  x(Px   xPx)  x  y  z ((Qxy  Qyz))  Qxz)  x(  y  z(Qxy  Qyz)   z  y(z=a  y=b))... Reglas de formación (v)

Malas aplicaciones de (v): Pa  Pb  Pc faltan paréntesis: (Pa  Pb)  Pc  x   yQxy  x no es fórmula x  y ni x ni y son fórmulas a  c ídem respecto a a y c  x   yQxy ídem respecto a  x Reglas de formación (v)

Al igual que en L 0, podemos eliminar los paréntesis exteriores: (Px   yPy) se queda en: Px   y Py (a=b  b=a) se queda en: a=b  b=a PERO:  x(Px   yPy) no se queda en:  xPx   yPy Sólo se simplifican los paréntesis EXTERIORES. De otro modo puede ocurrir que las fórmulas no sean equivalentes. Reglas de simplificación: paréntesis

Al igual que en L 0, podemos eliminar los paréntesis interiores de una secuencia de fórmulas unidas sólo por conyuntores o sólo por disyuntores:  x(Py  (  yQxy   zQxz)) se queda en:  x(Py   yQxy   zQxz) (a = b  b = c)  c = d se queda en: a = b  b = c  c = d PERO:  x(Py  (  yQxy   zQxz)) no se queda en:  x(Py   yQxy   zQxz) Simplificación: paréntesis

En una fórmula precedida por una secuencia de cuantificadores del mismo tipo (todo  o todo  ) y ninguno de ellos está precedido de negador, podemos suprimir todos los cuantificadores excepto el primero, manteniendo las variables:  x  y  z (x = a  y = a  z = a) se queda en:  xyz (x = a  y = a  z = a)  x  y  z  x 1  x 2 (Qxy  Rzx 1 x 2 ) se queda en:  xyzx 1 x 2 (Qxy  Rzx 1 x 2 ) PERO:  x  y  z (Px  Qyz) no se queda en:  xz  y (Px  Qyz) Simplificación: cuantificadores

En casos como los anteriores, pero con algún negador, no puede suprimirse nunca el cuantificador que está justo a la derecha del negador, aunque sí los restantes ¬  x  y  z (x = a  y = a  z = a) se queda en: ¬  xyz (x = a  y = a  z = a)  x  y¬  z  x 1  x 2 (Qxy  Rzx 1 x 2 ) se queda en:  xy¬  zx 1 x 2 (Qxy  Rzx 1 x 2 ) PERO:  x¬  y¬  z (Px  Qyz) no se queda en:  x¬  yz (Px  Qyz) Simplificación: cuantificadores

Una fórmula de identidad precedida por negador puede traducirse a una fórmula sin negador, cambiando = por ≠ ¬a = b se queda en: a ≠ b  xy ¬x = y se queda en:  xy x ≠ y PERO: ¬(a = b  b = c) no se queda en: a ≠ b  b ≠ c Recordemos las equivalencias entre  y  Simplificación: identidad