Ing. Antonio Crivillero Análisis Matemático I Ing. Antonio Crivillero

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PROBLEMA DEL MUNDO REAL Menú Principal Introducción PROBLEMA DEL MUNDO REAL MODELO FÍSICO formular DEPENDENCIAS RELACIONES formular poner a prueba VARIABLES MODELO MATEMÁTICO idealización HIPÓTESIS resolver PREDICCIONES ACERCA DEL MUNDO REAL INTERPRETACIÓN FÍSICA CONCLUSIONES MATEMÁTICAS

Variación de Funciones Menú Principal Variación de Funciones Máximos y Mínimos Locales Determinación de Extremos Locales Determinación de Extremos Absolutos Concavidad y Convexidad – Puntos de Inflexión Asíntotas Lineales a Curvas Planas Estudio Completo de una Función Explícita Aplicaciones

“c” se denomina punto de máximo local o relativo Menú Principal Máximos Locales Menú Funciones Siguiente Definición: Sea una función definida en un conjunto y sea “c” un punto interior del mismo: El valor f (c) es un valor máximo local o relativo de f si y sólo si existe un entorno del punto c tal que los valores de f verifican donde c c “c” se denomina punto de máximo local o relativo

“c” se denomina punto de mínimo local o relativo Menú Principal Mínimos Locales Menú Funciones Anterior Siguiente Definición: Sea una función definida en un conjunto y sea “c” un punto interior del mismo: El valor f (c) es un valor mínimo local o relativo de f si y sólo si existe un entorno del punto c tal que los valores de f verifican donde c c “c” se denomina punto de mínimo local o relativo

Puntos Críticos Definición: Menú Principal Puntos Críticos Menú Funciones Anterior Siguiente Definición: El punto “c” interior del es un punto crítico de primera especie de la función f si y solo si “c” verifica una cualquiera de las siguientes condiciones: f es derivable en “c”, siendo f ’(c) = 0 f no tiene derivada primera finita en c, es decir, f ’ (c) no existe, pero f está definida en c

Determinación de Extremos Locales: Condición Necesaria Menú Principal Determinación de Extremos Locales: Condición Necesaria Menú Funciones Anterior Siguiente Teorema: Condición Necesaria para la Existencia de Extremos Locales Sea f una función definida en un conjunto A, y sea “c” un punto interior de A tal que f es derivable en “c” (con derivada finita): si “c” es un punto extremo local de f entonces f ’ (c) = 0 Si la función f tiene un extremo local en “c”  “c” es PUNTO CRÍTICO de f Demostración (para “c” punto máximo local): Por ser “c” un punto interior de A y, además, f (c) un valor MÁXIMO LOCAL de f, existe siempre un entorno de centro c, Ec, tal que:

Determinación de Extremos Locales: Condición Necesaria (cont.) Menú Principal Determinación de Extremos Locales: Condición Necesaria (cont.) Menú Funciones Anterior Siguiente si (1) si (2) tomando límites laterales de (1) y (2) para x Yc se tiene: La existencia de la derivada en el punto c (formulada en la hipótesis) exige la igualdad de las derivadas laterales, es decir: c

f no tiene ni máximo ni mínimo relativo en “c” Menú Principal Determinación de Extremos Locales: Condiciones Suficientes – Derivada 1ª Menú Funciones Anterior Siguiente Teorema de la Derivada Primera: Si “c” es un punto crítico de f y si existe un intervalo [a,b] con c X (a,b) tal que f es continua sobre [a,b] y 1) f tiene un máximo relativo en “c” 2) f tiene un mínimo relativo en “c” 3) f no tiene ni máximo ni mínimo relativo en “c” ó

Menú Principal Determinación de Extremos Locales: Condiciones Suficientes – Derivada 1ª Menú Funciones Anterior Siguiente Demostración (1): a x c x b Como para , f es no decreciente sobre [a,c], entonces Como para , f es no creciente sobre [c,b], entonces , f tiene un máximo relativo en “c”

Menú Principal Determinación de Extremos Locales: Condiciones Suficientes – Derivada 1ª Menú Funciones Anterior Siguiente Demostración (2): a x c x b Como para , f es no creciente sobre [a,c], entonces Como para , f es no decreciente sobre [c,b], entonces , f tiene un mínimo relativo en “c”

Menú Principal Determinación de Extremos Locales: Condiciones Suficientes – Derivada 1ª Menú Funciones Anterior Siguiente Demostración (3): Si para f es estrictamente creciente en [a,c] y si para f es estrictamente creciente en [c,b] es estrictamente creciente en [a,b] Análogamente, si a ambos lados de “c”  es estrictamente decreciente en [a,b] En cualquiera de los casos, f no tiene ni un máximo ni un mínimo relativo en “c”. a b c b a c

Menú Principal Determinación de Extremos Locales: Condiciones Suficientes – Derivada 2ª Menú Funciones Anterior Siguiente Teorema de la Derivada Segunda: (se aplica únicamente en puntos críticos “c” de primera especie con existencia de derivada primera en “c”: f ’ (c) = 0) Si una función f(x) es dos veces derivable en un punto “c”, siendo f ’(c) = 0 (pto. crítico de 1ª especie), y f ’’(c)K0, se verifica 1) si f tiene un máximo relativo en “c” 2) si f tiene un mínimo relativo en “c”

por el Teorema de la conservación del signo de los límites finitos, Menú Principal Determinación de Extremos Locales: Condiciones Suficientes – Derivada 2ª Menú Funciones Anterior Siguiente Demostración (1): Si y por el Teorema de la conservación del signo de los límites finitos, se verifica: si si por el Teorema del cambio de signo de la derivada primera de positiva a negativa, resulta que f(x) tiene un máximo relativo en “c”. Demostración (2): Se demuestra en forma análoga.

Menú Principal Determinación de Extremos Locales: Condiciones Suficientes – Derivada 2ª Menú Funciones Anterior Siguiente Ejemplo 1: x y f tiene un punto crítico en x = 0 ; como no existe f ’(0) no podemos aplicar el Teorema de la Derivada 2ª. Sin embargo, usando el Teorema de la Derivada 1ª encontramos que f tiene un mínimo relativo en x = 0

Menú Principal Determinación de Extremos Locales: Condiciones Suficientes – Derivada 2ª Menú Funciones Anterior Siguiente Ejemplo 2: x y f tiene un punto crítico en x = 0 , pero como no existe f ’’(0) nuevamente no podemos aplicar el Teorema de la Derivada 2ª. Por el Teorema de la Derivada 1ª encontramos que f tiene un mínimo relativo en x = 0

(Su demostración requiere conocer la fórmula de Taylor) Menú Principal Determinación de Extremos Locales: Condiciones Suficientes – Derivada 2ª Menú Funciones Anterior Siguiente El Teorema de la Derivada 2ª se puede generalizar a los casos de funciones f cuyas (n-1) primeras derivadas en “c” son iguales a cero. Si , siendo n número par tiene un extremo relativo en “c”: Si tiene un mínimo relativo en “c” Si tiene un máximo relativo en “c” (Su demostración requiere conocer la fórmula de Taylor)

Menú Principal Determinación de Extremos Locales: Condiciones Suficientes – Derivada 2ª Menú Funciones Anterior Siguiente Ejemplo 1: x y tiene un mínimo en x=0

 no tiene ni máximo ni mínimo Menú Principal Determinación de Extremos Locales: Condiciones Suficientes – Derivada 2ª Menú Funciones Anterior Ejemplo 2: x y n = 3 (impar)  no tiene ni máximo ni mínimo

Concavidad y Convexidad Menú Principal Concavidad y Convexidad Menú Funciones Siguiente x y P2 Q P1 P a x1 x x2 b

Concavidad y Convexidad Menú Principal Concavidad y Convexidad Menú Funciones Anterior Siguiente Tomemos dos puntos cualesquiera x1 y x2 en [a,b]. Sea P1 = ( x1, f(x1) ) y P2 = ( x2, f(x2) ) El segmento rectilíneo que une P1 y P2, abierto, puede escribirse: x y P2 Q P1 P a x1 x x2 b

Concavidad y Convexidad Menú Principal Concavidad y Convexidad Menú Funciones Anterior Siguiente Definición: Una función es CONVEXA (cóncava hacia arriba) sobre el intervalo [a,b] si para dos puntos cualesquiera x1 y x2 en [a,b] se cumple que:  P sobre la gráfica de f en cualquier punto entre x1 y x2 se encuentra bajo el correspondiente Q. Si cambiamos “≤” por “≥” tenemos la definición de una función CÓNCAVA hacia abajo.

Concavidad y Convexidad - Teorema - Menú Principal Concavidad y Convexidad - Teorema - Menú Funciones Anterior Siguiente Teorema: 1 ) Si es CONVEXA sobre (a,b) 2 ) Si es CÓNCAVA sobre (a,b) Demostración: 1) Tómense dos puntos cualesquiera x1 , x2 en (a,b) / x1 ‹ x2 x y Sean P1 = (x1 , f (x1)) y P2 = (x2 , f (x2)) tomamos un número cualquiera entre x1 y x2: , donde P2 Q P1 P c1 c2 a x1 x2 b

Concavidad y Convexidad - Teorema - Menú Principal Concavidad y Convexidad - Teorema - Menú Funciones Anterior Siguiente Según el Teorema del Valor Medio existen puntos y x y P2 Q P1 P c1 c2 a x1 x2 b

Concavidad y Convexidad - Teorema - Menú Principal Concavidad y Convexidad - Teorema - Menú Funciones Anterior Siguiente Las condiciones para el Teorema del Valor Medio se verifican en los intervalos y ya que f ’’ (x) existe , como f ’’ (x) › 0 , f ’ (x) es CRECIENTE sobre [x1 , x2]

Concavidad y Convexidad - Teorema - Menú Principal Concavidad y Convexidad - Teorema - Menú Funciones Anterior Siguiente de modo que, si f ’’ › 0 , la función f es CONVEXA sobre (a,b)

Concavidad y Convexidad - Teorema - Menú Principal Concavidad y Convexidad - Teorema - Menú Funciones Anterior 2) Si la función f es CÓNCAVA sobre (a,b)

(x,y) X L y (x , f(x)) X f tiende a cero Menú Principal Asíntotas Menú Funciones Siguiente Definición: y x Dada la recta L es una ASÍNTOTA VERTICAL del gráfico de f si Definición: x = c Dada la recta L es una ASÍNTOTA OBLICUA del gráfico de f si cuando la variable crece (o decrece) indefinidamente, la distancia entre los puntos (x,y) X L y (x , f(x)) X f tiende a cero

Asíntotas Si es asíntota al gráfico de f tenemos Menú Principal Menú Funciones Anterior Si es asíntota al gráfico de f tenemos y x y = a · x + b