Unidad 3 Capítulo I Teoría general

U-3. Cap.I. Teoría general Los fenómenos o procesos que se estudian en las ciencias químicas, físicas, biológicas y sociales, son de naturaleza dinámica. Tales fenómenos involucran la rapidez de cambio de una cantidad (o propiedad de la materia), con respecto a una variable (el tiempo, generalmente). En el lenguaje de la matemática, la rapidez de cambio de una función con respecto a una variable corresponde con una derivada, por lo que es de esperarse que el modelo matemático de los fenómenos dinámicos resulte en una ecuación diferencial.

Es decir, si a es una propiedad y t el tiempo se tiene que: U-3. Cap.I. Teoría general En una gran cantidad de fenómenos dinámicos se observa que la rapidez de cambio de una propiedad es proporcional a la propiedad misma Es decir, si a es una propiedad y t el tiempo se tiene que: donde k es la constante de proporcionalidad y su valor se puede obtener mediante observación experimental. Como se puede ver, el modelo de estos procesos resulta en una ecuación diferencial lineal de primer orden.

La ecuación diferencial lineal resultante se puede escribir: U-3. Cap.I. Teoría general La ecuación diferencial lineal resultante se puede escribir: y para resolverla, se obtiene primero el factor integrante: que permite determinar la solución general: o bien

Al sustituir la condición en la solución general, se obtiene: U-3. Cap.I. Teoría general El comportamiento del proceso, que es determinado por esta función, depende de las constantes, C y k. El valor de la constante de integración C se obtiene a partir de una condición inicial, que establece el valor de y en el momento en que el proceso inicia, es decir: Al sustituir la condición en la solución general, se obtiene: por lo que la llamada solución particular es:

cuya sustitución permite calcular el valor de k: U-3. Cap.I. Teoría general El valor de la constante k, una propiedad intrínseca del proceso, se puede determinar mediante: i Si el proceso es conocido, la búsqueda de información en la literatura apropiada. ii La cantidad de y en un momento posterior al inicial, obtenida ya sea por información del mismo proceso o a través de un experimento cuya sustitución permite calcular el valor de k: