APLICACIONES DE LAS DERIVADAS U.D. 6 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

CURVATURA Y PUNTOS NOTABLES U.D. 6.3 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD Sea la curva y = f (x). Sea xo un punto cualquiera de la curva. Sea y = t(x) la ecuación de la recta tangente a la curva por dicho punto. DEFINICIONES Si en las cercanías de xo tenemos f(x) > t(x) la curva es CONVEXA en xo. Si en las cercanías de xo tenemos f(x) < t(x) la curva es CÓNCAVA en xo. Si a la izquierda de xo tenemos f(x) < t(x) y a la derecha de xo tenemos f(x) > t(x) o viceversa, entonces x=xo es un PUNTO DE INFLEXIÓN. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD y = f (x) y = t (x) f (x) > t (x)  CÓNCAVA x=xo y = t (x) x=xo f (x) < t (x)  CONVEXA y = f (x) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Puntos de INFLEXIÓN y = f (x) y = t (x) Cóncava Cóncava x=xo Convexa Convexa - 3 -2 -1 0 1 2 PUNTO DE INFLEXIÓN @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. SEGUNDA DERIVADA Si f(x) tiene segunda derivada en xo, se cumple que: Si f(x) es cóncava en xo  f ‘ (x) es creciente en xo  f ’’ (xo) ≥ 0 Si f(x) es convexa en xo  f ‘ (x) es decreciente en xo  f ’’ (xo) ≤ 0 Si f(x) tiene un punto de inflexión en xo  f ’’ (xo) = 0 Conclusiones Si f ‘’(xo) > 0  f (x) es cóncava en xo. Si f ‘’(xo) < 0  f (x) es convexa en xo. Si f ‘’(xo) = 0 y f ‘’’ (xo) <>0  f (x) tiene un P.I. en xo. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bach. CCSS EXTREMOS RELATIVOS EXTREMOS RELATIVOS f(x) tiene un máximo relativo en x=a si existe un entorno de a para el que se cumple f(a) ≥ f(x). f(x) tiene un mínimo relativo en x=a si existe un entorno de a para el que se cumple f(a) ≤ f(x) TEOREMA 1 Si f tiene un extremo relativo en x = xo, y existe f’(xo), entonces: f ’(xo) = 0 TEOREMA 2 Sea f una función definida en (a , b) y con derivada segunda en este intervalo. Sea xo un punto perteneciente a dicho intervalo (a , b) y tal que f ’(xo) = 0 Si f “(x) > 0, entonces f tiene en xo un mínimo relativo. Si f “(x) < 0, entonces f tiene en xo un máximo relativo. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. CCSS

Matemáticas 2º Bach. CCSS Ejemplos EJEMPLO 1 Sea la función: y = x / (x – 1) Hallar los máximos y mínimos relativos de la función. En x = 1 la función presenta una asíntota vertical. Hallamos su derivada: y ‘ = [1.(x – 1)– 1.x] / (x – 1)2 Simplificamos: y ‘ = - 1 / (x – 1)2 Como y’ no puede ser 0, la función no presenta máx. ni mín. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. CCSS

Matemáticas 2º Bach. CCSS Ejemplos EJEMPLO 2 Hallar los máximos y mínimos relativos de la función: y = 2.x3 + 3.x2 – 12.x – 5 Hallamos su derivada: y ‘ = 6.x2 + 6.x – 12 La igualamos a cero: 6.x2 + 6.x – 12 = 0 Simplificamos: x2 + x – 2 =0 Resolvemos la ecuación: x = - 2 y x = 1 En x = -2 habrá un máximo o un mínimo relativo. En x = 1 habrá un máximo o un mínimo relativo. Normalmente si en uno de los puntos hay un máximo en el otro hay un mínimo. Para determinar si es máximo o mínimo miramos la segunda derivada. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. CCSS

Matemáticas 2º Bach. CCSS Máx(-2, 15) Teníamos: y = 2.x3 + 3.x2 – 12.x – 5 y ‘ = 6.x2 + 6.x – 12 Segunda derivada: y ” = 12.x + 6 f “ (1) = 12.1 + 6 = 18 > 0 En x = 1 hay un Mínimo relativo. Hallamos la ordenada del punto: f(1) = 2.1 + 3.1 – 12.1 – 5 = – 12 Mín(1 , – 12) f “ (– 2) = 12.(-2) + 6 = - 24 + 6 = - 18 < 0 En x = - 2 hay un Máximo relativo f(-2) = 2.(-8) + 3.4 – 12.(-2) – 5 = 15 Máx(– 2 , 15) - 3 -2 -1 0 1 2 Mín(1, - 12) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. CCSS

Matemáticas 2º Bach. CCSS Ejemplos EJEMPLO 3 Sea la función: y = ln (x – x2) Hallar los máximos y mínimos relativos de la función. Hallamos el dominio de dicha función: x – x2 >0 x.(1 – x) > 0 Producto positivo 1.- x > 0 y 1 – x > 0  0 < x < 1 Es una solución. 2.- x < 0 y 1 – x < 0  x < 0 y x > 1 No hay otra solución Dom f(x) = (0 , 1) Hallamos su derivada: y ‘ = (1 – 2.x) / (x – x2) y ‘ = 0  1 – 2.x = 0  x = ½  y = ln (0,5 – 0,25) = ln 0,25 En P(0,5 , ln 0,25) habrá un máximo o un mínimo relativo. El punto pertenece al dominio de la función. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. CCSS

Matemáticas 2º Bach. CCSS … EJEMPLO 3 Sea la función: y = ln (x – x2) Hallamos su derivada: y ‘ = (1 – 2.x) / (x – x2) En P(0,5 , ln 0,25) habrá un máximo o un mínimo relativo. Hallamos la derivada segunda: y “ = [(– 2).(x – x2) – (1 – 2.x).(1 – 2.x)] / (x – x2)2 y “ = (– 2.x + 2.x2 – 1 + 4.x – 4.x2 ) / (x – x2)2 y “ = (– 2.x2 + 2.x – 1 ) / (x – x2)2 y “ (0,5) = (– 2.0,52 + 2.0,5 – 1) / (0,5 – (0,5)2)2 y “ (0,5) = (– 2.0,25 + 1 – 1) / (0,5 – 0,25)2 y “ (0,5) = (– 0,5) / (0,25)2 y “ (0,5) = – 0,5 / 0,0625 < 0  Máximo relativo. El punto P(0,5 , ln 0,25) es un máximo relativo. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. CCSS

IDENTIFICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS Si f ‘ (x) = 0 y existe segunda derivada en xo, entonces: Si f ‘’(xo) > 0  f (x) tiene un MÍNIMO RELATIVO en xo. Si f ‘’(xo) < 0  f (x) tiene un MÁXIMO RELATIVO en xo. EJEMPLO_1 Sea y = (1 / 3) x3 – (3 / 2) x2 + 2 x – 5 Hallar máximos, mínimos y puntos de inflexión. Sea y ’ = x2 – 3x + 2  y ‘ = 0  (x – 1).(x – 2) = 0 Hallamos la segunda derivada: y ‘’ = 2.x – 3 En x=1  y ‘’ (1) = 2 – 3 = - 1 < 0  Máximo relativo en x=1 En x=2  y ‘’ (2) = 4 – 3 = 1 > 0  Mínimo relativo en x=1 y ‘’ =0  2.x – 3 = 0  x = 1,5  y ‘’’ = 2 <>0  P. Inflexión. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. EJEMPLO_2 Sea y = (1 / 3) x3 + x2 – 5 Hallar máximos, mínimos y puntos de inflexión. Sea y ’ = x2 + 2x  y ‘ = 0  x .(x + 2) = 0 x=0 y x= - 2 son los posibles máximos y mínimos relativos. Hallamos la segunda derivada: y ‘’ = 2.x + 2 En x = 0  y ‘’ (0) = 2.0 + 2 = 2 > 0  Mínimo relativo en x=0 En x = – 2  y ‘’ (– 2 ) = – 4 + 2 = – 2 < 0  Máximo relativo en x= – 2 y ‘’ = 0  2.x + 2 = 0  x = – 1 es el posible P. de Inflexión.  y ‘’’ = 2 <>0  P. Inflexión. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bach. CCSS EJEMPLO_3 Sea y = – (x – 2)3 – 1 y= – x3 + 6.x2 – 12.x + 7 Hallar máximos, mínimos y puntos de inflexión. Sea y ’ = – 3.x2 + 12.x – 12 y ‘ = 0  x2 – 4.x + 4 = 0 (x – 2)2 = 0  x = 2  Posible max/min Hallamos la segunda derivada: y ‘’ = – 6.x + 12 En x = 2  y ‘’ (2) = 0 Aunque la primera derivada sea 0 el punto no es ni un Max ni un Min. relativo. Para que en un punto haya un máx. o un mín. es necesario que y ’ = 0, pero no suficiente. Veamos si es un P.I. y’’(2) = 0  y’’’ = – 6 y’’’ (2) = – 6 <> 0  P(2, -1) es un PI Matemáticas 2º Bach. CCSS

Matemáticas 2º Bach. CCSS EJEMPLO_4 Sea y = |x2 – 1| Hallar los puntos singulares y los puntos de inflexión. Eliminamos el valor absoluto: x2 – 1 si x =< – 1 y = – x2 + 1 si – 1 < x < 1 x2 – 1 si x >=1 Calculamos la derivada primera: 2.x si x =< – 1 y ‘ = – 2.x si – 1 < x < 1 2.x si x >=1 Igualamos a cero para calcular los puntos singulares: 2.x = 0  x = 0 si x =< – 1  NO y ‘ = – 2.x = 0  x = 0 si – 1 < x < 1  SI 2.x = 0  x = 0 si x >=1  NO En x = 0  y” = – 2 < 0  Máximo relativo. x = 0  y (0) = |0 – 1| = 1  Máx(0 , 1) Max(0,1) No son puntos singulares ni de inflexión Matemáticas 2º Bach. CCSS

Matemáticas 2º Bach. CCSS … EJEMPLO_4 Sea y = |x2 – 1| Calculamos la derivada segunda: 2 si x =< – 1 y “ = – 2 si – 1 < x < 1 2 si x >=1 Igualamos a cero para calcular los puntos de inflexión: y ‘’ <> 0 en todos los casos. No existen puntos de inflexión. Sin embargo vemos que en x = – 1 la curva cambia de cóncava a convexa, y en x 0 1 cambia de convexa a cóncava. Para que en un punto haya un punto de inflexión es necesario que y ” = 0, pero no suficiente, pues y’’’ debe ser <> 0. En x = – 1 y x = 1 hay puntos angulosos, donde la derivada no existe al ser distintas sus derivadas laterales. Max(0,1) No son puntos singulares ni de inflexión Matemáticas 2º Bach. CCSS