FUNCIONES ELEMENTALES. Matemáticas.

ÍNDICE Funciones lineales. Funciones cuadráticas. Funciones tipo y Funciones exponenciales. Funciones logarítmicas. Funciones definidas a trozos.

1. Funciones lineales. Su expresión analítica es “f(x)= mx + n” m=pendiente. Si m>0 es ascendente; si m<0 es descendente. Si m=0 es constante. n=punto de corte con el eje y. Si n=0, pasa por el punto (0,0). * Si f(x)=m x función afín.

f(x)= mx + n m>0 f(x)= mx + n m<0 f(x)= x Identidad. f(x)= n Constante.

Características: Dominio = R Recorrido = R Excepto en las funciones constantes (ej: f(x)=4, Rec f=4 ) Simetría: No existe simetría excepto: a) Función constante= simétrica par. b) Función identidad y afines= simétrica impar. m>0 Creciente Monotonía m<0 Decreciente m=0 Constante. No hay extremos absolutos ni relativos. Para representar una función lineal son necesarios 2 puntos, que se unen mediante una línea recta infinita.

2. Funciones cuadráticas. Su expresión analítica es f(x)=ax²+bx +c. Si a>0 Convexa. Tienen forma parabólica Si a<0 Cóncava. Elementos de una parábola. Vértice Eje de simetría a<0 a<0

Características: Dominio=R a) Si a>0 Rec f = [ ,+ ∞) Recorrido b) Si a<0 Rec f = (-∞, ] No es simétrica excepto cuando el vértice esta en el eje y (b=0). En este caso sería simétrica par. f decreciente (- ∞, ) a) si a>0 f creciente ( , + ∞) Monotonía f creciente (- ∞, ) b) si a <0 f decreciente ( , + ∞)

a) si a>0 Mínimo absoluto Extremos b) si a<0 Máximo absoluto a) si a>0 f(x) convexa en R Curvatura b) si a<0 f(x) cóncava en R Para representar una función cuadrática: Calculamos el vértice Hallamos 2 valores de x antes del vértice. Hallamos 2 valores de x después del vértice.

3. Funciones tipo   k<0 k>0

Características. Dom f = R \{0} x=0 (asíntota vertical) Rec f = R \ {0} y=0 (asíntota horizontal) Todas las funciones tipo presentan simetría impar. No hay extremos absolutos ni relativos. a) Si k>0 f(x) decreciente(-∞,0)U(0,+ ∞) Monotonía b) Si k<0 f(x) creciente (- ∞,0)U(0,+ ∞) f(x) cóncava (- ∞, 0) a) Si k>0 f(x) convexa (0, + ∞) Curvatura b) Si k<0 f(x) convexa (- ∞, 0) f(x) cóncava (0,+ ∞)

Para representarla. Ej: f(x)= x y - ∞ + ∞ 1 4 -1 -4 2 2 -2 -2 En primer lugar, en la tabla de valores se toma un valor a la izquierda de la asíntota, que en este caso es 0, y otro a la derecha: (0+) y (0-). Con ello calculamos entonces hacia dónde se irá cada lado, si a +inf o a –inf. En segundo lugar, se toma al menos 2 valores por la izquierda y otros dos por la derecha. Ej: f(x)= x y - ∞ + ∞ 1 4 -1 -4 2 2 -2 -2

3.1 Funciones tipo k є R y es un valor fijo. a (valor donde se anula el denom.)=asíntota vertical. El signo de k determinará la forma de la función.

Características. Dom f = R \ {valor dónde se anula el denom.} (asíntota vertical) Rec f = R \ {0} (asíntota horizontal) No presentan simetría (excepto si a=0). No hay extremos absolutos ni relativos. a) Si k>0 f(x) decreciente(-∞,a)U(a,+∞) Monotonía b) Si k<0 f(x) creciente (- ∞,a)U(a,+∞) f(x) cóncava (- ∞, a) a) Si k>0 f(x) convexa (a, + ∞) Curvatura b) Si k<0 f(x) convexa (- ∞, a) f(x) cóncava (a,+ ∞)

Para representarla se siguen los mismos pasos que para las , pero en vez de coger los valores a la izquierda y derecha del 0, se hará con el valor que anule el denominador en cada caso. Ej: x y

4. Funciones tipo k seguirá siendo un valor fijo y pertenecerá a R. Estas funciones son similares a las tipo , pero en este caso el valor de la izquierda y de la derecha de la asíntota serán iguales. Las dos ramas irán a +∞ o –∞. k seguirá siendo un valor fijo y pertenecerá a R. f(x)=

Características. Dom f = R \{a} Rec f k>0 (0, + ∞) k<0 (- ∞, 0) No existe simetría excepto si a=0 (Simetría par). No hay extremos absolutos ni relativos. f(x) creciente (- ∞, a) a) Si k>0 f(x) decreciente (a, + ∞) Monotonía b) Si k<0 f(x) decreciente (- ∞, a) f(x) creciente (a,+ ∞) a) Si k>0 f(x) convexa (- ∞,a)U(a,+ ∞) Curvatura b) Si k<0 f(x) cóncava (- ∞,a)U(a,+ ∞)

Para representarla. Ej: f(x)= x y +∞ -1 6 -3 6 0 1.5 -4 1.5 En primer lugar, en la tabla de valores se toma un valor a la izquierda de la asíntota (a), y otro a la derecha. Calculamos entonces hacia donde tenderán dichos valores, si a +∞ o a –∞(dependerá del signo de k). En segundo lugar, se toma al menos 2 valores por la izquierda y otros dos por la derecha de la asíntota vertical. Ej: f(x)= x y +∞ -1 6 -3 6 0 1.5 -4 1.5

5. Funciones exponenciales. La expresión analítica siendo a>0 y a≠1. Todas pasan por el punto (0,1). Asíntota horizontal en y=0. Características. Dom f= R Rec f= (0,+ ∞). No hay extremos absolutos ni relativos. No presenta simetría.

Características.  

6. Funciones logarítmicas. Tienen la forma analítica f(x)=loga(x) siendo a>0 y a≠1. Todas pasan por el punto (1,0).

Características. Dom f si a>1, dom f= (0, +∞)   Dom f si a>1, dom f= (0, +∞) si 0<a<1, dom f= (0, +∞) Rec f= R (para cualquier a>0 y a≠1) Tienen una asíntota en x=0 No hay extremos absolutos ni relativos. No presenta simetría. Curvatura :es cóncava si a>1 y convexa si 0<a<1 a) si a>1 f creciente en todo su dominio. Monotonía b) si 0<a<1 f decreciente en todo su dominio.

Para representar: Se toman varios valores a la izquierda y a la derecha del P(1,0). Ej: f(x)= log2(x) x y 1) si a>1, x -∞ Tienen una asíntota vertical en x=0 2) si a<1, x +∞

Características.    

7. Funciones definidas a trozos. Función subdivida por funciones según los valores de x. Representamos cada parte-función según la características de ésta. Importante: siempre buscar la imagen del punto de enlace para las dos Funciones que se encuentre en el entorno de ese valor.          

7.1. Funciones definidas a trozos Función valor absoluto asigna a cada número real el mismo si es positivo, o su opuesto si es negativo.                          

8. Funciones trigonométricas Función sen(x)    

8. Funciones trigonométricas Función tg(x)   Simetría par