CONCEPTOS MATEMATICOS BASICOS I NUMEROS COMPLEJOS Cartesianas Polar Representación de números complejos NLO - 1

OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS a. Adición y sustracción: es la suma algebraicas de sus partes real e imaginaria. Ejemplo: NLO - 2

b. Multiplicación y división: puede hacerle en forma polar, en forma exponencial o multiplicando los complejos: NLO - 3

Formulación a partir de la ecuación de Euler: NLO - 4

VARIABLES Y FUNCIONES COMPLEJAS Si se tiene una variable compleja S definida como: S =  + jw Cualquier función dependiente de dicha variable también será definida en el plano complejo y por tanto tendrá parte real y parte imaginaria así: Ejemplo: Sea: donde: s=+ j w : Entonces: NLO - 5

NLO - 6

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE La transformada de Laplace es un argumento matemático del cálculo operacional ,en el que una función se transforma de dependencia en la variable (t) en dependencia en una nueva variable (s) Se define como: NLO - 7

Para la función escalón: Ejemplos: Para la función escalón: NLO - 8

Entonces, con base en lo supuesto: Para la función rampa: Nota: Se sabe que: Entonces, con base en lo supuesto: NLO - 9

NLO - 10

Para la función seno:Se sabe que: NLO - 11

NLO - 12

CARACTERÍSTICAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 1. Multiplicación por una constante: 2. Transformada de una suma: 3. Teorema de Translación real: NLO - 13

4. Transformada de una derivada Demostración: Partimos de la definición de transformada: Se asume: NLO - 14

Entonces: NLO - 15

Ahora, si todas las condiciones iniciales son iguales: En general: Ahora, si todas las condiciones iniciales son iguales: NLO - 16

7. Teorema del valor final. 8. Teorema del valor inicial. NLO - 17

9. Transformada de una integral. Demostración: Se asume: NLO - 18

Entonces: NLO - 19

Si las condiciones iniciales son cero (0): Generalizando: Si las condiciones iniciales son cero (0): NLO - 20

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE. La transformada inversa de Laplace se define matemáticamente como: donde la integración se realiza a lo largo de la línea vertical Re(s) = c en el plano complejo tal que c es mayor que la parte real de todas las singularidades de F(s). La integral arriba planteada es muy difícil de evaluar y por tanto, lo usual, es utilizar las tablas de transformadas cuando la forma de F(s) lo permite. NLO - 21

= TABLA DE TRANFORMADA DE LAPLACE= NLO - 23

Si la función F(s) no está definida en las tablas, lo más común es expandir en fracciones parciales para dar F(s) en términos de factores simples fácilmente invertibles, utilizando tablas de transformadas. NLO -24

DESARROLLO EN FRACCIONES PARCIALES (Teorema de Heaviside): Sea una función F(s) definida como: Se puede expandir en funciones parciales, tale que los términos del denominador de cada fracción sean de primer orden (si los Pi son reales) y/o de segundo orden (si los Pi son complejos conjugados). NLO -25

1. Cuando los Pi son reales diferentes: Veamos los métodos más utilizados de acuerdo a la característica de las raices del denominador (Pi). 1. Cuando los Pi son reales diferentes: Donde: Ejemplo:

Aplicando la definición dada Por tanto: : NLO -26

Aplicando la definición, encontramos: Ejemplo: Sea: Aplicando la definición, encontramos: NLO -26

2. Cuando Pi son polos complejos conjugados: Ejemplo: i) Para hallar a3: NLO -27

ii) Para hallar a1 ,a2: Reemplazando: NLO -27

Igualando términos reales e imaginarios: En resumen: NLO -28

3. Cuando Pi son polos múltiples: donde: NLO -29

NLO -29

Ejemplo: NLO -30

Por tanto: NLO -30

La transformada de la Laplace: RESUMEN La transformada de la Laplace: Permite sustituir las ecuaciones diferenciales por expresiones algebraicas facilitando su resolución. La solución para la respuesta temporal se obtiene: - Obteniendo la ecuación deferencial - Obteniendo la transaformada de Laplace de las ecuaciones diferenciales. - Resolviendo la transformada algebraica resultante, de la variable de interés. NLO - 35

La transformada de Laplace para una función del tiempo f(t) es: La transformada inversa deLaplace es: La variable de Laplace se puede considerar como un operador diferencias El operador integral, será, entonces : NLO - 36