Curso de Estabilidad IIb Ing. Gabriel Pujol Principio de los Trabajos Virtuales (PTV) El PTV y las condiciones de equilibrio Curso de Estabilidad IIb Ing. Gabriel Pujol Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

El PTV se expresa diciendo: Introducción “Para una deformación virtual infinitamente pequeña de un cuerpo que se encuentra en equilibrio, el trabajo virtual de las fuerzas exteriores es igual al trabajo virtual interno de deformación” Es conveniente considerar algunos términos de la definición: En primer lugar estamos considerando un cuerpo en equilibrio, al que con posterioridad se le provoca una deformación arbitraria compatible con las condiciones de vínculo, pero que no proviene de las cargas originales en el cuerpo. Las cargas externas multiplicadas por esos desplazamientos arbitrarios representan el trabajo virtual de las fuerzas exteriores, Te. Los esfuerzos internos generados por las cargas en equilibrio originales, generan trabajo debido a la deformación virtual impuesta, dando origen al trabajo virtual interno de deformación, Ti. El PTV puede entonces expresarse sintéticamente como: El PTV se expresa diciendo:

… siendo R las correspondientes reacciones de vínculo exteriores Sometemos al sistema a una deformación virtual, por lo que los puntos de aplicación de las cargas Pm y R, sufrirán desplazamientos δm y ΔR (si existen corrimientos de apoyos) en la dirección de las mismas. Por lo tanto el trabajo virtual de las fuerzas externas estará dado por: Para este sistema en equilibrio se desarrollan esfuerzos internos Q, N, M de tal manera que existe equilibrio entre la acción interna y la externa. Para expresar el trabajo virtual interno de deformación, (es decir el trabajo de los esfuerzos internos Q, N, M) debido a la deformación virtual, consideramos un elemento de una barra dx de altura h. Consideremos el caso de una estructura sometida a un sistema de cargas Pm

La deformación virtual provocará… … un desplazamiento relativo de las dos secciones del elemento que podrá expresarse por una traslación y una rotación d. La traslación la podemos considerar compuesta por dos componentes; una a lo largo del eje de la barra dN y otra normal dc. El trabajo diferencial de las fuerzas internas que actúan sobre el elemento dx será: La integración de esta expresión a toda la estructura representa el trabajo virtual de deformación Ti. La deformación virtual provocará…

Las deformaciones elásticas para una barra son: Resultando: Las deformaciones elásticas para una barra son:

Donde: α: coeficiente de dilatación térmica E: Módulo de elasticidad F: Sección transversal de la barra G: Módulo de elasticidad transversal J: Momento de Inercia χ: Coeficiente de forma que tiene en cuenta la distribución no uniforme del corte en la sección transversal de la viga y reemplazando en e integrando será: … que es la expresión del PTV, para el caso general de estructuras planas. Donde:

Condiciones de equilibrio Consideremos una chapa solicitada por un sistema de fuerzas exteriores Fi y Mi en equilibrio... …las condiciones de equilibrio de los cuerpos en el plano son las siguientes: …además, una chapa en el plano posee tres grados de libertad (dos desplazamientos y una rotación), en consecuencia es susceptible de experimentar tres desplazamientos virtuales independientes entre sí. Veamos ahora las condiciones de equilibrio…

Veamos ahora las condiciones de equilibrio… …suponemos que la chapa sufre un desplazamiento virtual paralelo al eje x de intensidad x. Al tratarse de un sólido rígido, todos sus puntos materiales y en particular los puntos de aplicación de las fuerzas, sufrirán el mismo desplazamiento x, y el trabajo desarrollado por el sistema de fuerzas será: …siendo i el ángulo que forma cada fuerza Fi respecto del eje x. Dado que x es arbitrario, para que se cumpla la igualdad precedente es necesario que: que corresponde a la condición de equilibrio Veamos ahora las condiciones de equilibrio…

Veamos ahora las condiciones de equilibrio… Consideremos ahora un desplazamiento virtual paralelo al eje y de intensidad y. En forma análoga se tendrá: Por último, para una rotación virtual θ de la chapa respecto del centro O, los puntos de aplicación de las fuerzas sufrirán el siguiente corrimiento virtual en la dirección de las mismas: …siendo di la distancia medida en forma perpendicular desde el origen de coordenadas a la dirección de las fuerzas Fi. Veamos ahora las condiciones de equilibrio…

Veamos ahora las condiciones de equilibrio… Por lo tanto, el trabajo virtual desarrollado por sistema de fuerzas, para una rotación virtual, de acuerdo con el enunciado del Principio de Trabajos Virtuales debe ser nulo: de donde: “De esta manera se ha demostrado que todo cuerpo que cumple el PTV cumple a su vez las condiciones de equilibrio”. Veamos ahora las condiciones de equilibrio…

Aplicación al Cálculo de Deformaciones …con un estado de cargas cualquiera, que genera el diagrama de momentos M indicado en la figura. Si queremos calcular la deformación de esa viga (desplazamiento vertical) en el punto m, aplicamos en dicho punto una carga auxiliar (ficticia) unitaria, en la dirección que se quiere calcular la deformación. Si aplicamos ahora la ecuación del PTV y admitimos que no hay descenso de apoyos, ni variaciones de temperatura y despreciando los efectos de N y Q, resulta: Supongamos una viga simplemente apoyada…

Aplicación al Cálculo de Deformaciones Análogamente, si queremos la deformación de esa viga (giro) en el punto m, aplicamos una cupla unitaria en dicho punto, en donde por aplicación de la ecuación del PTV, resulta: Supongamos una viga simplemente apoyada…

Veamos el siguiente ejemplo: Calcular la flecha en el punto medio y el giro en los extremos de la viga simplemente apoyada de la figura cuando actúa sobre ella una carga uniforme p. La función de momentos flexores de la viga es: Si queremos calcular la deformación de la viga (desplazamiento vertical) en el punto C, aplicamos en dicho punto una carga auxiliar (ficticia), unitaria, en la dirección que se quiere calcular la deformación. Veamos el siguiente ejemplo:

Veamos el siguiente ejemplo: Los momentos generados por esta fuerza serán: Veamos el siguiente ejemplo:

Veamos el siguiente ejemplo: y planteando la ecuación de PTV (dado que ambos momentos son simétricos, resolveremos la integral de media viga y la multiplicaremos por 2): Veamos el siguiente ejemplo:

Veamos el siguiente ejemplo: Análogamente, si queremos calcular el giro del punto B, aplicamos una cupla auxiliar (ficticia) unitaria en dicho punto, en la dirección que se quiere calcular la deformación. Los momentos generados por esta cupla serán: y planteando la ecuación de PTV: Veamos el siguiente ejemplo:

Veamos ahora el método gráfico: Si queremos calcular la deformación de la viga, será: Veamos ahora el método gráfico:

Bibliografía Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

Muchas Gracias