Curso de Estabilidad IIb Ing. Gabriel Pujol Hiperestáticos Método de las Fuerzas Ejercicio N° 2b de la Guía de Problemas Propuestos Curso de Estabilidad IIb Ing. Gabriel Pujol Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

Enunciado …para las condiciones de vínculo que se muestran en la figura, cargado con una carga distribuida de valor “q” y una fuerza concentrada “P” actuando en el punto “C” en la mitad de la luz (L/2) entre apoyos “A” y “B”… A B C P q …adoptar dos Sistemas Fundamentales distintos. Comparar resultados. Dibujar el diagrama de cuerpo libre, trazar los diagramas de características y calcular los efectos de un descenso del vínculo B de valor  junto con una rotación de valor . Datos: Perfil “doble T” (DIN 1025); L = 7,4 m; P = 4,5 t; q = 1,8 t/m; adm = 1400 Kg/cm2; adm = 800 Kg/cm2; E = 2,1x106 Kg/cm2. Resolver por el método de las fuerzas la barra estudiada en el Ejercicio Nº 1 del Trabajo Práctico Nº 8…

Resolución Caso A Caso B P q X1 X2 X3 Caso A P q X1 X2 X3 Caso B Encararemos la solución del problema adoptando los siguientes sistemas fundamentales…

Resolución Veamos el Caso A… En este caso, el sistema que tiene un grado de hiperestaticidad igual a 3, lo convertimos en isostático mediante la supresión del vínculo (empotramiento) “B”… P q A B C …y agregando las acciones “X1”, “X2” y “X3”, así será: X2 X3 X1 …y planteando de la ecuaciones de compatibilidad será: Xi - verdadero valor de la incógnita hiperestática “i” (adimensional). aij - desplazamiento que sufre el punto de aplicación de la incógnita Xi en la estructura fundamental en la dirección y sentido de esta fuerza, originado por un valor unitario de Xj. donde: Veamos el Caso A…

Resolución Veamos el Caso A… En este caso, el sistema que tiene un grado de hiperestaticidad igual a 3, lo convertimos en isostático mediante la supresión del vínculo (empotramiento) “B”… P q A B C …y agregando las acciones “X1”, “X2” y “X3”, así será: X2 X3 X1 …y planteando de la ecuaciones de compatibilidad será: aiP - desplazamiento del punto de aplicación de la incógnita hiperestática Xi en la estructura fundamental, en la dirección y sentido de la fuerza “P”, por acción de Xi = 1 donde: Veamos el Caso A…

Resolución Veamos el Caso A… En este caso, el sistema que tiene un grado de hiperestaticidad igual a 3, lo convertimos en isostático mediante la supresión del vínculo (empotramiento) “B”… P q A B C …y agregando las acciones “X1”, “X2” y “X3”, así será: X2 X3 X1 …y planteando de la ecuaciones de compatibilidad será: aiq - desplazamiento del punto de aplicación de la incógnita hiperestática Xi en la estructura fundamental, en la dirección y sentido de la fuerza “q”, por acción de Xi = 1 donde: Veamos el Caso A…

Resolución …mientras que las integrales las resolvemos por medio de la tabla de multiplicación de diagramas: a1P P PL/2 Carga concentrada P 1 L Incógnita hiperestática X1 Los coeficientes aij los obtenemos aplicando el Principio de los Trabajos Virtuales…

Resolución …mientras que las integrales las resolvemos por medio de la tabla de multiplicación de diagramas: a1P P PL/2 Carga concentrada P 1 L Incógnita hiperestática X1

Resolución …mientras que las integrales las resolvemos por medio de la tabla de multiplicación de diagramas: a1q qL2/2 Carga distribuida q 1 L Incógnita hiperestática X1

Resolución …mientras que las integrales las resolvemos por medio de la tabla de multiplicación de diagramas: a12 = a21 1 Incógnita hiperestática X2 1 L Incógnita hiperestática X1

En forma análoga calculamos los otros coeficientes … Resolución En forma análoga calculamos los otros coeficientes …

Resolución P q A B C X1 X2 El signo menos indica que el sentido adoptado para la incógnita x1 es el contrario al graficado en el esquema. Con lo que podemos armar y resolver el siguiente sistema de ecuaciones…

Resolución Veamos el Caso B… El sistema tiene un grado de hiperestaticidad igual a 3, lo convertimos en isostático mediante el reemplazo del vínculo (empotramiento) “A” por un vínculo de segunda especie (apoyo fijo)… A B C P q … y el reemplazo del vínculo (empotramiento) “B” por un vínculo de primera especie (apoyo móvil… X1 X2 X3 … agregando las acciones “X1”, “X2” y “X3”, así será: …y planteando de la ecuaciones de compatibilidad será: Xi - verdadero valor de la incógnita hiperestática “i” (adimensional). aij - desplazamiento que sufre el punto de aplicación de la incógnita Xi en la estructura fundamental en la dirección y sentido de esta fuerza, originado por un valor unitario de Xj. donde: Veamos el Caso B…

Resolución Veamos el Caso B… El sistema tiene un grado de hiperestaticidad igual a 3, lo convertimos en isostático mediante el reemplazo del vínculo (empotramiento) “A” por un vínculo de segunda especie (apoyo fijo)… A B C P q … y el reemplazo del vínculo (empotramiento) “B” por un vínculo de primera especie (apoyo móvil… X1 X2 X3 … agregando las acciones “X1”, “X2” y “X3”, así será: aiP - desplazamiento del punto de aplicación de la incógnita hiperestática Xi en la estructura fundamental, en la dirección y sentido de la fuerza “P”, por acción de Xi = 1 …y planteando de la ecuaciones de compatibilidad será: aiq - desplazamiento del punto de aplicación de la incógnita hiperestática Xi en la estructura fundamental, en la dirección y sentido de la fuerza “q”, por acción de Xi = 1 donde: Veamos el Caso B…

Resolución …mientras que las integrales las resolvemos por medio de la tabla de multiplicación de diagramas: a1P P PL/4 Carga concentrada P 1 Incógnita hiperestática X1 Los coeficientes aij los obtenemos aplicando el Principio de los Trabajos Virtuales…

Resolución …mientras que las integrales las resolvemos por medio de la tabla de multiplicación de diagramas: a1P P PL/4 Carga concentrada P Incógnita hiperestática X1 Incógnita hiperestática X1 1

Resolución …mientras que las integrales las resolvemos por medio de la tabla de multiplicación de diagramas: a12 = a21 -1 Incógnita hiperestática X2 Incógnita hiperestática X1 1

En forma análoga calculamos los otros coeficientes … Resolución Con lo que podemos armar y resolver la siguiente ecuación: En forma análoga calculamos los otros coeficientes …

Graficamos el diagrama del cuerpo libre… Resolución A C B 4,5 t 1,8 t/m 12,38 t.m 12,38 t.m 8,91 t 8,91 t Graficamos el diagrama del cuerpo libre…

Graficamos los diagramas de momento flexor y corte… Resolución M Q 12,38 t.m 8,91 t 12,38 t.m 2,25 t 2,25 t 8,91 t 8,27 t.m Graficamos los diagramas de momento flexor y corte…

Resolución Adoptamos el sistema fundamental del Caso A… …y agregamos las acciones “X1”, “X2” y “X3”, así será: X2 …si planteamos ahora, las ecuaciones de compatibilidad tendremos: A B X3 X1 …los coeficiente aij son los ya calculados considerando, en este caso, la no existencia de cargas exteriores: Calculemos ahora los efectos de un descenso del vínculo B (de valor )…

Resolución …y reemplazando se tiene: MA X2 = MB A B X1 RA …despejando de la segunda ecuación X2 resulta: = RB …reemplazando ahora X2 en la primera y operando, se tiene: Calculemos ahora las reacciones de vínculo en A: Calculemos ahora los efectos de un descenso del vínculo B (de valor )…

Resolución Adoptamos el sistema fundamental del Caso A… …y agregamos las acciones “X1”, “X2” y “X3”, así será: X2 …si planteamos ahora, las ecuaciones de compatibilidad tendremos: A B X3 X1 …los coeficiente aij son los ya calculados considerando, en este caso, la no existencia de cargas exteriores: Calculemos ahora los efectos de una rotación del vínculo B (de valor )…

Resolución …y reemplazando se tiene: MA X2 = MB A B X1 RA …despejando de la primer ecuación X2 resulta: = RB …reemplazando ahora X2 en la segunda y operando, se tiene: Calculemos ahora las reacciones de vínculo en A: Calculemos ahora los efectos de un descenso del vínculo B (de valor )…

Bibliografía Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

Muchas Gracias