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Publicada porGabriel Buenfil Modificado hace 7 años
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Desarrollo por Menores y Cofactores Mtro. Gabriel Alfonso Buenfil Monsreal
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Definición 1. si A = [a] es una matriz 1x1 el determinante de A se denota y define como det(A) = a 2 si A = es una matriz de 2x2 de define y denota el determinante de A como det(A) = ad – bc 3 supongamos que n es un entero mayor a 2 y que los determinantes para matrices de orden menor o igual a n – 1 ya han sido definidos. Si A es una matriz n x n, entonces: (a) Se define el menor del elemento a ij de A (o simplemente el menor i j) como el determinante que se obtiene de la matriz que resulta de eliminar la fila i y la columna j de A. A este numero lo denotamos por M ij. El cofactor del elemento a ij de A (o simplemente el cofactor ij), se define y denota como cij = (-1) i+j M ij. a b c d
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Es posible hacer un poco más eficiente el desarrollo por cofactores. Si A es una matriz cuadrada de orden n y vamos a calcular su determinante, por ejemplo, desarrollando por cofactores en la fila Fi, entonces |A| = Σ(−1) i+k a ik M ik donde M ik es el menor del elemento a ik de la matriz A; es decir, M ik es el determinante de la matriz (n−1)×(n−1) que resulta de eliminar la fila i y la columna k de la matriz A. Dado que (−1) i+k es 1 o −1 si j+k es par o impar, podemos desarrollar las siguientes matrices de signos para evitar calcular la potencia (−1) i+j : + - - + + - + -+ - + - + + - - + + - - + n K=1
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Solución de sistemas lineales de n x n, empleando la regla de Cramer
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La regla de kramer es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704-1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729).Colin Maclaurin
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El método de Cramer esta sustentado en el calculo de determinantes, motivo por el cual su aplicación esta restringida a matrices cuadradas. Para calcular el determinante de una matriz 3x3 partimos de la estructura de un sistema de ecuaciones como sigue: Coeficient es Variables resultados
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Tomando la matriz de coeficientes del sistema Calculamos el determinante como sigue: Matriz de Coeficientes
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Tomando la matriz de coeficientes del sistema replicamos las dos primeras columnas y realizamos las multiplicaciones indicadas por las diagonales y el signo indicado en cada color. Multiplico por el signo (+) El resultado de cada diagonal Multiplico por el signo (+) El resultado de cada diagonal Multiplico por el signo (-) El resultado de cada diagonal Multiplico por el signo (-) El resultado de cada diagonal
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Siendo A una matriz (de coeficientes) de nxn perteneciente al sistema las respuestas del sistema vienen dadas por. Donde son matrices construidas a partir del cambio de la columna de la matriz A que indica el subíndice de por los valores del vector de resultados
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La aplicación de la regla de Cramer se sustenta en cuatro simples procesos: Primero debemos plantear la matriz de coeficientes y el vector de resultados del sistema. Después mediante la regla de Cramer planteamos las matrices D1, D2 etc. Calculamos los valores de los determinantes de cada matriz planteada. Y por ultimo para obtener las respuestas del sistema reemplazamos los valores calculados realizando las divisiones indicadas en la regla de Cramer.
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Resolver el siguiente sistema de ecuaciones 3x3, empleando la regla de Cramer: Primero planteamos la matriz de coeficientes y el vector de resultados. Coeficient es Variables resultados
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Aplicando la opción dos para el calculo de determinantes tenemos. Sumando los resultados de las diagonales: *(+) *(-)
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De igual manera calculamos para D 1, D 2 y D 3
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Por ultimo reemplazamos y hallamos las respuestas del sistema:
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Actividad de aprendizaje Resolución de Sistemas lineales con los métodos conocidos pág. 205 (pares), pág. 6 (1, 3, 5 y 7) y pag.26 (1, 3, 5 y 7) del libro de texto
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Esperamos que esta información oriente tu proceso formativo y la comprensión de los conceptos de la asignatura.
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