Leyes de los senos y de los cosenos Roberto Quezada

Notación Utilizaremos letras mayúsculas como A, B y C, para representar a los ángulos de un triángulo, y letras minúsculas a,b y c, para representar los lados opuestos correspondientes. A b c C a B

Ley de los senos Si ABC es un triángulo con lados a, b y c, entonces a Sen A b Sen B c Sen C = = B a C C b a c b A c B A

Una idea de la demostración: Sea h la altura de cualquiera de los triángulos. Entonces tenemos que, h b o bien, h = b Sen A, Sen A = h a así mismo, Sen B = o bien, h = a Sen B. a Sen A b Sen B = . ¿Cómo continuar? Entonces, B a C C c b h a h b A A c B

La ley de los senos también se puede escribir en su forma Recíproca: Sen A a Sen C c Sen B b . = =

Aplicaciones Ejemplo 1(resolución de triángulos). Para el triángulo de la figura, C=102.3 grados, B=28.7 grados y b=27.4 metros. Encontrar los ángulos y lados restantes. C b a A c B

Solución: El tercer ángulo del triángulo es A = 180 - B - C = 49 grados. Por la ley de los senos tenemos que: a Sen 49 b Sen 28.7 c Sen 102.3 . = = 27.4 Sen 28.7 Sen 49 = 43.06 mts. Usando b = 27.4 se obtiene, a = 27.4 Sen 28.7 Y c = Sen 102.3 = 55.75 mts.

Ejemplo 2 (área de un triángulo oblicuo). La idea de la demostración de la ley de los senos sugiere una fórmula para el área de triángulos oblicuos. C b C a h a A h c b B B A c Area = 1/2(base)(altura) = (1/2) c (b sen A) = (1/2) bc sen A. De manera similar se obtienen las fórmulas: Area = (1/2) ab sen C = (1/2) ac sen B.

Ejemplo 3. Una carrera de veleros se inicia en el punto A se debe llegar al punto B localizado a 52 grados al suroeste. Después se debe ir hasta el punto C que está a 40 grados al sureste y finalmente regresar al punto de partida, como se muestra en la figura. El punto C se encuentra exactamente a 8 kms al sur del punto A. Calcule la distancia total del recorrido. N A O E Solución: Como las lineas BD y AC son paralelas, entonces <DBC=<BCA. Entonces el otro ángulo del triángulo es B = 180-52-40 = 88 grados. Por la ley de los senos tenemos que: S 52 B 8 kms 40 b Sen 88 c Sen 40 a Sen 52 = = 8 Sen 88 Pero b=8, entonces a = (sen 52) = 6.308 kms. C D ¿Cómo continuar?

Ley de los cosenos En un triágulo de ángulos A, B, C y lados a, b, c, se cumplen las siguientes relaciones: Forma estándar Forma alternativa a2 = b2 + c2 –2bc cos A Cos A = (1/2bc) (b2 + c2 – a2) b2 = a2 + c2 –2ac cos B Cos B = (1/2ac) (a2 + c2 – b2) c2 = a2 + b2 –2ab cos C Cos C = (1/2ab) (a2 + b2 – c2) Observe que si A=90, entonces a es la hipotenusa de un triángulo rectángulo y de la primera relación se obtiene que a2 = b2 + c2. Entonces el Teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos.

Solución. Ejemplo 4. Encontrar los tres ángulos de un triángulo cuyos lados son a= 80 mts., b = 19 mts., c=14 mts. B Solución. c=14 mts. a=8 mts. A C B=19 mts. Por la ley de los cosenos tenemos que Cos B = (1/2ac) (a2 + c2 – b2) = (1/2)(8)(14) (82 + 142 – 192) = -0.4508. Como cos(B) es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso. De hecho, B = 116.80 grados. Podemos seguir aplicando la ley de los cosenos para obtener los otros Ángulos, pero es más simple usar ahora la ley de los senos, pues b Sen B a Sen A Sen B b , Sen A = a = 0.37582. = Como B es obtuso, A debe ser agudo entonces A=22.08 grados.

¿Por qué? La Fórmula de Herón Si un triángulo tiene lados a, b, c, su área es: Area = (s(s-a)(s-b)(s-c))1/2, donde s = (1/2)(a+b+c). ¿Por qué? Por el ejemplo 3, sabemos que Area = (1/2) bc sen A = ((1/4)b2c2 sen2A)1/2 = ((1/4)b2c2 (1-cos2A))1/2 = ([(1/2)bc(1+cos A)] [(1/2)bc(1-cos A)])1/2. Usando la ley de los cosenos se puede ver que a+b+c 2 -a+b+c 2 (1/2)bc(1+cos A) = = s(s-a) a-b+c 2 a+b-c 2 = (s-b)(s-c). (1/2)bc(1-cos A) = Entonces podemos concluir que Area = (s(s-a)(s-b)(s-c))1/2

Ejemplo 4. Encontrar el área de un triángulo cuyos lados miden a=43 mts., b=53 mts., y c=72 mts. Solución: Usando la fórmula de Herón tenemos que S=(1/2)(a+b+c) = (1/2) 168 = 84. Entonces, Area = (s(s-a)(s-b)(s-c))1/2 = (84(41)(31)(12))1/2 = 1131.89 mts.