Dra. Nemí L. Ruiz Limardo 2005-2006 © Derechos Reservados Leyes de Exponentes Dra. Nemí L. Ruiz Limardo 2005-2006 © Derechos Reservados

Objetivos Conocer cuáles son y cómo se aplican las leyes de exponentes Aplicar las leyes de exponentes

Definición de una Potencia an = a . a . a . … . a n veces Recuerda que si elevamos un número a (la base) a una potencia n (el exponente) significa que se multiplica ese número a tantas veces como indique el exponente n.

Ejemplos 3 2 = 3 . 3 = 9 (-3) 2 = -3 . -3 = 9 5 3 = 5 . 5 . 5 = 125 (-5) 3 = -5 . -5 . -5 = -125 x 6 = x . x . x . x . x . x = x 6 (-x) 6 = -x . -x . -x . -x . -x . -x = x 6 -x 6 = - (x . x . x . x . x . x) = - x 6 Recuerda que no se multiplica la base por el exponente. Si la base es negativa hay que encerrarla en paréntesis. Si no se ve paréntesis, la base es positiva y si tuviera signo delante, el signo no le pertenece a la base. Hay que considerarlo como el opuesto de lo que sea el resultado de elevar la base a la potencia indicada.

Ejemplos 3 2 = 3 . 3 = 9 (-3) 2 = -3 . -3 = 9 5 3 = 5 . 5 . 5 = 125 (-5) 3 = -5 . -5 . -5 = -125 x 6 = x . x . x . x . x . x = x 6 (-x) 6 = -x . -x . -x . -x . -x . -x = x 6 -x 6 = - (x . x . x . x . x . x) = - x 6 Recuerda que: -Si elevamos una base negativa a una potencia par, el resultado es positivo. -Si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado es negativo. -Si la base es positiva el resultado es positivo siempre.

Definición de Potencia Cero 1 Cualquier base que se eleva a la potencia 0, el resultado es 1, o sea, equivale al número1.

Ejemplos 3 0 = 1 (-3) 0 = 1 135 0 = 1 (-275) 0 = 1 x 0 = 1 (-x) 0 = 1 (x2y3) 0 = 1 Cualquier número ó expresión que se eleva a la potencia cero, el resultado es uno.

Ejemplos Simplifica la expresión: 3 0 + 8 0 = 1 + 1 = 2

Definición de Potencia Negativa 1 an -Un exponente negativo equivale a un recíproco. -Observa que el que es negativo es el exponente, no la base. -Observa que cuando se convierte al recíproco, pierde el exponente negativo y se convierte en exponente positivo.

Ejemplos 3 -2 = x -3 = y 3 y (-3) -2 = x 2 -3 = (-2) -3 = x -5 = 1 1 = 32 9 3 -2 = (-3) -2 = 2 -3 = (-2) -3 = x -5 = (x2y3) -7 = x -3 = y y 3 x 1 1 = (-3)2 9 -Observa bien cuál es la expresión que se eleva al exponente negativo y cuál es el resultado que se obtiene. -Observa cómo son los signos de las bases, los signos de los exponentes y los signos del resultado. 1 1 = 23 8 1 1 = (-2)3 - 8 1 x5 1 (x2y3)7

Ejemplos 3 -2 = (-3) -2 = 2 -3 = (-2) -3 = x -5 = (x2y3) -7 = x -3 = y 1 1 = 32 9 3 -2 = (-3) -2 = 2 -3 = (-2) -3 = x -5 = (x2y3) -7 = x -3 = y y 3 x 1 1 = (-3)2 9 -En el último ejemplo se obtiene el recíproco invirtiendo la fracción. Para obtener el recíproco de una fracción se invierte la posición del numerador y denominador. Después de cambiar al recíproco, se convierte el exponente a positivo. 1 1 = 23 8 1 1 = (-2)3 - 8 1 x5 1 (x2y3)7

Ejercicios de Práctica

Ejercicios 1: Simplifica (-3)3 x0 y3 = -27y3 16xy2 42 x y2 = -16x2z3 -42 x2 y0 z3 = 3x3 z2 = 2y0 3x3 z2 2

Ejercicios 2: Simplifica 1 2 5 = y -5 5y5 2 -1 = x -2 = y -5 y 5 x 2 1 27 3 -3 = -Como y-5 está en el denominador, su recíproco aparece en el numerador y pierde el exponente negativo. En este caso desaparece el denominador ya que no queda ningún término en el denominador. 1 x 2 x -2 = 2 -2 = 3 9 4 3 2 = 2

Ejercicios 3: Simplifica -25x2 y3 -5 2 x 2 y -3 = -Recuerda que solo se cambia al recíproco los términos que están elevados a una potencia negativa. -En este caso, la base 5 es positiva ya que no está encerrada en paréntesis. El signo de negativo hay que considerarlo como el opuesto del resultado de elevar el 5 al cuadrado. 16 x2z3 (-4) 2 x -2 y 0 z -3 = y2 16x 4 -2 x -1 y 2 = 8 x -3 z 2 = y - 4 8y4z2 x3

Leyes de Exponentes

Ley 1: Multiplicación de Potencias con Bases Iguales a n . a m = a n + m Al multiplicar bases iguales se suman los exponentes Ejemplos: 4 5 . 4 2 = 4 7 x 2 . x . x 4 = x 7 x 2 . x -3 . x -1 . x 8 = x 6 No se puede aplicar esta ley ya que las potencias no se están multiplicando. La ley aplica cuando tenemos una multiplicación, no aplica en suma. x + x 3 =

Ley 2: Potencia elevada a otra potencia (a n ) m = a n m Cuando se eleva una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes Ejemplos: (x 2 ) 3 = x 6 (5 3 ) 4 = 5 12 (y 7 ) 0 = 1 (6 2 ) –1 = 6 -2 = 1 = 1 6 2 36

Ley 3: Producto elevado a una potencia (a b) n = a n b n Cuando hay una multiplicación de dos o más términos elevados a una potencia, se multiplican los exponentes de cada uno de los términos. Ejemplos: ( x y ) 3 = x3y3 ( 2 x ) 5 = 25 x5 = 32 x5 ( 3 x 2 y 4 ) -3 = 1 = 1 ( 3 x 2 y 4 ) 3 27 x6 y12 (x + y ) 2 = No se puede aplicar esta ley ya que no hay una multiplicación, hay una suma.

Ley 4: División de Bases Iguales Al dividir bases iguales se restan los exponentes. Se resta el exponente mayor menos el exponente menor y se coloca el resultado donde esté el exponente mayor. a m = a m - n a n (si m > n) Ejemplos: 7 5 = 7 2 = 49 7 3 7 3 = 1 = 1 7 5 72 49 x 3 = x x 2 7 5 = 7 0 = 1 7 5

Ley 5: Fracción elevada a una potencia a n = a n b b n Se eleva cada término de la fracción a la misma potencia n.

Práctica de Leyes de Exponentes

Simplifica aplicando leyes de exponentes: 9 15 . 9 3 = 918 x 3 . x 12 . x = x16 x 2 + x 5 = No aplican las leyes de exponentes. Se queda igual. x -2 . x -3 . x -1 . x 5 = 1 x Haz clic para ver resultados

Simplifica aplicando leyes de exponentes: (3 12 ) 3 = 3 36 (x 9 ) 0 = 1 (4 3 ) –1 = 4 -3 = 1 = 1 43 64 Haz clic para ver resultados

Simplifica aplicando leyes de exponentes: ( x y ) 3 = x3y3 ( 2 x ) 5 = 25 x5 = 32 x5 ( 3 x 4 y 5 ) -3 = 1 = 1 ( 3 x 4y 5 ) 3 27 x12y15 No aplican las leyes de exponentes (x + y ) 2 =

Simplifica aplicando leyes de exponentes: x 4 = x 2 x 2 y 19 = y 18 y 1 m10 m 13 = m 23 x 63 = x 63 x 0 = 1

Simplifica aplicando leyes de exponentes: m 5 = x -8 = n y 4 x 6 3 = x 7 -3 = 2 y 5 m5 n5 y32 x8 y15 x21 x18 8

Fin de la Presentación