Apuntes de Matemáticas 2º ESO U.D. 6 * 2º ESO ECUACIONES @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO U.D. 6.6 * 2º ESO DISCRIMINANTE @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO DISCRIMINANTE Llamamos discriminante, Δ, en una ecuación de segundo grado al valor de: Δ = b2 – 4.a.c Presentándose tres casos, según su valor: Si Δ > 0 , las dos raíces son números reales y distintos. Si Δ = 0 , las dos raíces son números reales e iguales ( raíz doble ). Si Δ < 0 , las raíces no son números reales. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO EJEMPLOS: Caso 1.- x2 + 2.x + 3 = 0 b2 ‑ 4.a.c = 4 – 4.1.3 = 4 – 12 = - 8 La ecuación no tiene soluciones reales Caso 2.- x2 + 2.x + 1 = 0 b2 ‑ 4.a.c = 4 – 4.1.1 = 4 – 4 = 0 La ecuación tiene las dos soluciones iguales. Caso 3.- x2 - 3.x + 2 = 0 b2 ‑ 4.a.c = 9 – 4.1.2 = 9 – 8 = 1 La ecuación tiene dos soluciones distintas. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO FACTORIZACIÓN Un trinomio de 2º grado, a.x2 + b.x + c, con las raíces x1 y x2 se puede descomponer siempre de la siguiente manera: a.x2 + b.x + c = a.(x – x1).(x – x2) Ejemplos: x2 – 3.x + 2 tiene como raíces x=1 y x=2 Podemos poner: x2 + 3.x + 2 = (x – 1 ).(x – 2 ) x2 – 5.x + 6 tiene como raíces x=2 y x=3 Podemos poner: x2 – 5.x + 6 = (x – 2 ).(x – 3 ) @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Más EJEMPLOS: x2 + 2.x + 3 no tiene raíces reales No se puede factorizar x2 + 2.x + 1 tiene las dos raíces iguales x=-1, x=-1 Podemos poner x2 + 2.x + 1 = (x + 1).(x + 1) 3.x2 + 5.x – 8 tiene como raíces x=1 y x=- 8/3 Podemos poner: 3.x2 + 5.x – 8 = 3.(x – 1 ).(x + 8/3) 5.x2 – 7.x – 34 tiene como raíces x=-2 y x= 17/5 Podemos poner: 5.x2 – 7.x – 34 = 5.(x + 2 ).(x – 17/5) Importante: Hay que darse cuenta de que cuando el valor de la raíz es negativo, el factor es de la forma (x + …), en lugar de (x – …) @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES En CUALQUIER ecuación de segundo grado, se cumple siempre: ‑ b x + x = ‑‑‑‑‑ 1 2 a ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--- ; x = -------------------------- 1 2.a 2 2.a Sumando ambas: ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c)   ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) x + x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑------- + ---------------------------------- = 1 2 2.a 2.a ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) - 2.b - b = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑-------------------------------------- = ------- = ----- 2.a 2.a a @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES En CUALQUIER ecuación de segundo grado, se cumple siempre: c x . x = ‑‑‑‑‑ 1 2 a ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--- ; x = -------------------------- 1 2.a 2 2.a Multiplicando ambas: [ ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ] [  ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) ] x . x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----------- . --------------------------------= 1 2 2.a 2.a (‑ b) 2 ‑ (√ ( b2 ‑ 4.a.c) ) 2 b 2 ‑ ( b 2 ‑ 4.a.c) 4.a.c c = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----------------- = -------------------------- = -------- = ----- 4.a 2 4.a 2 4.a 2 a @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES Sea la ecuación a.x2 + b.x + c = 0 Dividiendo todo entre a queda: a.x2 b.x c ---- + ------ + ----- = 0  x2 – S.x + P = 0 a a a Cuando en una ecuación de segundo grado (cuadrática), el valor del parámetro a es la unidad (a=1), se cumple: El valor del parámetro b es la suma de las soluciones cambiada de signo. El valor del parámetro c es el producto de las soluciones. Se puede comprobar (verificar) mentalmente con cualquier ejemplo resuelto del apartado anterior. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO