VECTOR UNITARIO

ADICIÓN Y SUSTRACIÓN DE VECTORES Dos vectores A y B pueden sumar para dar otro vector: (C) C=A + B La adición vectorial Se efectúa componente por componente Así, si A (Ax Ay, Az ) y B (Bx By, Bz )

La sustracción de vectores Las leyes asociativas

EJERCICIOS

EL VECTOR POSICIÓN Y DISTANCIA Vector Posición (o radiovector) rp .-Es la distancia dirigida del Punto O al punto P. Vector Distancia.- Es el desplazamiento de un punto a otro.

MULTIPLICACION DE VECTORES Cuando se multiplican dos vectores (A B), el resultado es un vector o un escalar, según como se multiplique los vectores, así hay dos tipos de multiplicación de vectores. El producto escalar (o punto): A . B Producto vectorial (o cruz) AXB

La multiplicación de tres vectores A, B y C puede resultar en: Triple producto escalar: A.(B x C) Triple producto vectorial: AX(BXC) EL PRODUCTO PUNTO El producto de dos vectores A y B el cual se escribe A.B, se define geométricamente como el producto de las magnitudes de A y B y el coseno del ángulo entre ellos. El producto punto nos da el valor del vector

Donde ӨAB es el ángulo menor entre A y B. El resultado de A Donde ӨAB es el ángulo menor entre A y B. El resultado de A . B se denomina producto escalar porque es un escalar, o producto punto a causa del signo de punto. Si A=(Ax, Ay, Az) y B=(Bx, By, Bz), entonces.

Se dice que dos vectores son ortogonales (o perpendiculares)entre si, si A . B=0 El producto punto obedece a las siguientes leyes. Ley conmutativa A . B=B . A Ley Distributiva A . (B + C)= A . B + A . C Nótese también que:

PRODUCTO CRUZ Es una cantidad vectorial cuya magnitud es el área del paralelogramo formado por A y B; y su dirección de avance se da con la ley de la mano derecha de A hacia B. Donde 𝑎 𝑛 es el vector unitario normal al plano que lo contiene a A y B. La dirección de 𝑎 𝑛 puede entenderse como la dirección del pulgar derecho cuando los dedos de la mano derecha giran de A a B

La multiplicación de vectores se denomina producto cruz debido al signo por (X), o producto vectorial a causa de que su resultado es un vector. Si A ( 𝐴 𝑥 , 𝐴 𝑦 , 𝐴 𝑧 ) y B ( 𝐵 𝑥 , 𝐵 𝑦 , 𝐵 𝑧 ) entonces: AXB= 𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 𝑧 𝐴 𝑥 𝐴 𝑦 𝐴 𝑧 𝐵 𝑥 𝐵 𝑦 𝐵 𝑧 Es igual a: 𝑎 𝑥 ( 𝐴 𝑦 𝐵 𝑧 - 𝐴 𝑧 𝐵 𝑦 )- 𝑎 𝑦 ( 𝐴 𝑥 𝐵 𝑧 - 𝐴 𝑧 𝐵 𝑥 )+ 𝑎 𝑧 ( 𝐴 𝑥 𝐵 𝑦 - 𝐴 𝑦 𝐵 𝑥 ) Propiedades Básicas No es conmutativa AXB ≠ BXA Si no anti conmutativa AXB ≠ -BXA ejercicos goegebra\1.ggb No es asociativa AX(BXC) ≠ (AXC) XB Es distributiva AX(BXC)= AXB+AXC

TRIPLE PRODUCTO VECTORIAL Se define como A•(BXC) = B•(AXC) = C•(AXB) Si A ( 𝐴 𝑥 , 𝐴 𝑦 , 𝐴 𝑧 ), B ( 𝐵 𝑥 , 𝐵 𝑦 , 𝐵 𝑧 ) y C ( 𝐶 𝑥 , 𝐶 𝑦 , 𝐶 𝑧 ) Se puede obtener fácilmente hallando la matriz de 3X3 formada por A,B,C. 𝐴𝑋𝐵= 𝐴 𝑥 𝐴 𝑦 𝐴 𝑧 𝐵 𝑥 𝐵 𝑦 𝐵 𝑧 𝐶 𝑥 𝐶 𝑦 𝐶 𝑧 TRIPLE PRODUCTO VECTORIAL Para los vectores A,B y C definimos el triple producto vectorial AX(BXC) = B(A•C)- C(B•A)

COMPONENTES DE UN VECTOR Una aplicación del producto vectorial es el uso en la determinación de la proyección (o componentes) de un vector en una dirección dada. Esta dirección puede ser escalar o vectorial. cosӨ= 𝐴 𝐵 𝐴 siendo 𝐴 𝐵 la comp . escalar 𝐴 𝐵 = A cos 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 = 𝐴 𝐵 𝑎 𝐵 =(𝐴 𝑎 𝐵 ) 𝑎 𝐵 𝐴 𝐵 = 𝐴 𝐵 𝑎 𝐵 siendo 𝐴 𝐵 la comp. vectorial

Ejercicios

CAMPOS ELECTROSTATICOS LEY DE COULOMB E INTENSISDAD DE CAMPO Hace referencia sobre que una carga puntual ejerce en otra carga puntual. Carga Puntual.- Se entiende una carga localizada en un cuerpo cuyas dimensiones son mucho menores que las demás dimensiones pertinentes. Las cargas se miden en coulombs (C). Esto equivale a 6X1018 electrones

La ley de coulomb establece que la fuerza (F) entre dos cargar puntuales Q1 y Q2 es: De dirección a la de la línea que las une. Directamente proporcional al producto Q1 Q2 de las cargas. Inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (R) entre ellas Expresado matemáticamente es: F= 𝑘 𝑄 1 𝑄 2 𝑅 2

Donde K es la constante de proporcionalidad Donde K es la constante de proporcionalidad. En unidades del sistema Internacional (SI). La cargar Q1 Q2 están en coulombs (C). La distancia R en metros (m) La fuerza en newtons (N) Que la K = 1/4πε0 La constante ε0 se conoce como permitividad del vacío

Donde R12= r2 –r1 R=|R12| 𝐹 12 = 𝑄 1 𝑄 2 4𝜋 𝜀 0 𝑅 2 𝑅 12 𝑅 Si las cargas puntuales Q1 y Q2 se localizan en un puntos con vectores de posición r1 y r2 entonces la fuerza F12 sobre Q2 debido a Q1, esta dada por: Donde R12= r2 –r1 R=|R12| 𝐹 12 = 𝑄 1 𝑄 2 4𝜋 𝜀 0 𝑅 2 𝑅 12 𝑅 𝐹 12 = 𝑄 1 𝑄 2 (r2 –r1) 4𝜋 𝜀 0 𝑅 3 𝐹 12 = 𝑄 1 𝑄 2 (r2 –r1) 4𝜋 𝜀 0 (r2 –r1) 3

La fuerza F21 sobre la Q1 debido a Q2 está dado Por: Cargas iguales se repelen, mientras que cargas de signo contrario se atraen. La distancia R entre los cuerpos cargados Q1 y Q2 debe ser grande en comparación con las dimensiones lineales de los cuerpos; esto es Q1 y Q2 deben ser cargas puntuales. Q1 y Q2 deben ser estáticas. Los signos de Q1 y Q2 deben tenerse en cuanta.

Si se tiene mas de dos cargas puntuales es posible utilizar el principio de súper posición para determinar la fuerza sobre una carga particular. Este principio establece que si N cargas Q1, Q2,……..Qn se ubican respectivamente en puntos con vectores de posición r1,r2…..rn, la fuerza resultante F sobre una carga Q localizada en el punto r es la suma vectorial de las fuerzas ejercidas sobre Q por cada una de las cargas Q1, Q2, ……….Qn. En consecuencia:

La intensidad de campo La intensidad de campo eléctrico (E) es la fuerza por unidad de carga en el campo eléctrico, Asi: A intensidad de campo eléctrico E la dirección es igual a la de la fuerza F y se mide en newtons/coulomb o volts/metros. La intensidad de campo eléctrico en el punto r debido a una carga puntual localizada en r´ se obtiene: 𝐹= 𝑄 𝑄 1 (𝑟− 𝑟 1 ) 4𝜋 𝜀 0 |𝑟− 𝑟 1 | 3 + 𝑄 𝑄 2 (𝑟− 𝑟 2 ) 4𝜋 𝜀 0 |𝑟− 𝑟 2 | 3 ………. 𝑄 𝑄 𝑛 (𝑟− 𝑟 𝑛 ) 4𝜋 𝜀 0 |𝑟− 𝑟 𝑛 | 3 𝐸= 𝐹 𝑄 𝐸= 𝑄 𝑄 2 (𝑟− 𝑟 1 ) 4𝜋 𝜀 0 |𝑟− 𝑟 1 | 3 𝑄 = 𝑄 1 (𝑟− 𝑟 1 ) 4𝜋 𝜀 0 |𝑟− 𝑟 1 | 3 + 𝑄 2 (𝑟− 𝑟 2 ) 4𝜋 𝜀 0 |𝑟− 𝑟 2 | 3

Cargas puntuales de 1 mC y -2mC se localizan en (3,2,-1) y (-1,-1, 4), respectivamente. Calcular la fuerza eléctrica sobre una carga de 10nC localizada en (0,3,1) y la intensidad de campo eléctrico en ese punto

𝐹= 𝑘=1,2 𝑄 𝑄 𝑘 (𝑟− 𝑟 𝑘 ) 4𝜋 𝜀 0 |𝑟− 𝑟 𝑘 | 3 𝐹= 𝑘=1,2 𝑄 𝑄 𝑘 (𝑟− 𝑟 𝑘 ) 4𝜋 𝜀 0 |𝑟− 𝑟 𝑘 | 3 𝐹= 𝑄 4π 𝜀 0 10 −3 0,3,1 − 3, 2,−1 | 0,3,1 − 3,2,−1 | 3 + −2𝑋10 −3 0,3,1 − −1,−1,4 | 0,3,1 − −1,−1,4 | 3 𝐹= ( 10 −3 ) 10𝑥10 −9 4π 10 −9 36𝜋 0,3,1 − 3, 2,−1 | −3,1,2 | 3 + −2 0,3,1 − −1,−1,4 | 1,4,−3 | 3 𝐹= 10𝑥10 −12 1 9 𝑥10 −9 (−3,1,2) − 3 2 + 1 2 + 2 2 3 + (−2−8+6) 1 2 + 4 2 + 3 2 3

𝐹= 9𝑥10 −2 (−3,1,2) (9+1+4) 3 2 + (−2−8+6) (1+16+9) 3 2 𝐹= 9𝑥10 −2 (−3,1,2) (14) 3 2 + (−2−8+6) (26) 3 2 𝐹= 9𝑥10 −2 (−3,1,2) ( 14 ) 3 + (−2−8+6) ( 26 ) 3 𝐹= 9𝑥10 −2 (−3,1,2) 14 14 + (−2−8+6) 26 26

𝐸= 𝐹 𝑄 E= 10 −3 (−6.48, −3.72, 7.50) 10𝑥10 −9 E=(−6.48, −3.72,7.50) 10 −3 10 −8 E=(−6.48, −3.72,7.50) 10 5 E=−648000, −372000, 750000) 𝑉 𝑚