Facultad de Contaduría y Administración Algebra Lineal Objeto de estudio 4. Vectores Dr. José Alfonso Álvarez Terrazas

Objetivos 4.1. Definición 4.2. Operaciones algebraicas con vectores 4.3. Propiedades de los vectores 4.4. Producto escalar 4.5. Producto vectorial 4.6. Ángulo entre vectores 4.7. Dirección de un vector 4.8. Combinación lineal

1. Definición Vectores Partir de la representación de R, como una recta numérica, los elementos (a; b) ϵ R2 se asocian con puntos de un plano definido por dos rectas perpendiculares que al mismo tiempo definen un sistema de coordenadas rectangulares donde la intersección representa a (0; 0) y cada (a; b) se asocia con un punto de coordenada a en la recta horizontal (eje X) y la coordenada b en la recta vertical (eje Y ).

1. Definición Vectores Análogamente, los elementos (a; b; c) 2 R3 se asocian con puntos en el espacio tridimensional definido con tres rectas mutuamente perpendiculares. Estas rectas forman los ejes del sistema de coordenadas rectangulares (ejes X, Y y Z).

1. Definición Vectores A los pares o n-adas ordenadas de números reales se les llama vectores, aquí los denotaremos con letras minúsculas en negritas como: u , v , w,... , etc. Cada elemento de la n-ada se le da el nombre de componente del punto o vector. Ejemplo:

1. Definición Vectores

Vectores Un vector se representa geométricamente en un plano, un vector en el espacio bidimensional es un par ordenado (a, b), el plano lo denotamos con R2. En el caso de un vector en un espacio tridimensional es una terna o triada ordenada de números reales (a, b, c), el plano lo denotamos con R3. Cuando se tiene un vector (a, b, c, ...etc.) en un espacio de n-dimensiones se opera en Rn. Si se considera un espacio bidimensional R2, se pueden representar a los vectores como puntos en un plano.

Vectores

Vectores Los vectores en general pueden ser: Libres. Sin localización especifica en el espacio. Un vector libre puede trasladar su origen a cualquier punto del espacio, siempre que conserve su módulo y sentido y mantenga paralela su dirección. Ej. momento de un par. Deslizantes. Sin localización especifica a lo largo de una recta dada. Un vector deslizante solo puede trasladar su origen a lo largo de su recta de aplicación. Ej. la fuerza aplicada a un sólido. Fijos. Un vector fijo es el de origen fijo. Ej. la intensidad del campo gravitatorio en un punto dado.

Magnitud de un vector La magnitud del vector es la longitud del segmento de recta que lo representa geométricamente. Sea un vector u en Rn. La magnitud de u se denota por |u| y se define como: Para el plano R2 es: Para el plano R3 es:

Ejemplo 1 Ejemplo: La magnitud del vector u en R3 es: u = [1 5 7]

(a1, a2 ,... an) o [a1, a2 ,... an] Tipos de vectores Vector Renglón El vector renglón de n-dimensiones es el conjunto ordenado de componentes (números) dispuestos en una fila y escritos como: (a1, a2 ,... an) o [a1, a2 ,... an]

Tipos de vectores Primer componente del vector Vector Columna El vector columna de n-dimensiones es el conjunto ordenado de componentes dispuestos en una columna y escritos como: Primer componente del vector Segundo componente del vector   n-ésimo

Vector unitario Para convertir un vector en unitario, se divide cada una de las coordenadas por el módulo del vector: Vector unitario:

4.2. Operaciones algebraicas con vectores Suma de Vectores Sumar o componer dos o más vectores es hallar otro vector resultante cuyas componentes sean iguales a la suma de las componentes de los vectores sumados. Dados dos vectores u y v para sumarlos gráficamente hay dos posibilidades: 1. Se sitúa el origen del segundo vector sobre el extremo del primero y el vector suma es el vector que une el origen del primero con el extremo del segundo. 2. Se sitúan los dos vectores con origen común. Se forma el paralelogramo que tiene por lados los dos vectores y la diagonal que parte del origen de los dos vectores es el vector suma.

4.2. Operaciones algebraicas con vectores Sean los vectores u y v en el plano R2. La suma de vectores es: Si: u = (a, b) y v = (c, d) Entonces u+ v = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

Ejemplo 2 Sumar los vectores u y v: u + v u = (1, 2) v = (5,4) Restar los vectores u y v: u – v u = (1, 2) v = (5,4) u - v = (1, 2) - (5, 4) = (1 - 5, 2 - 4) = (-4, -2)

Ejemplo 2. Continuación

4.3. Propiedades de los vectores Propiedades de la adición de vectores y la multiplicación de un vector por un escalar Teorema 2.1: Si A, B y C son vectores cualesquiera y c y d son escalares entonces la suma vectorial y la multiplicación por un escalar cumplen lo siguiente: 1. A + B = B + A (Ley conmutativa) 2. A + (B + C) = (A + B) + C (Ley Asociativa) 3. ∃ O tal que A + O = A (Elemento Neutro para la suma) 4. ∃ -A tal que A + (-A) = O (Elemento Simétrico o Negativo) 5. c(A + B ) = cA + cB (Ley Distributiva) 6. (c + d) A = cA + dA (Ley Distributiva)

4.4. Producto escalar A los vectores los representamos con letras minúsculas y con una pequeña flecha sobre ellas indicando dirección y sentido: Sus valores escalares o módulos los representamos: El valor escalar del vector:

u • v = x1x2 + y1y2 u • v = x1x2 + y1y2 + z1z2 Fórmula del producto escalar entre vectores en función de sus componentes Sean u = (x1; y2) y v = (x2; y2). El producto escalar o producto punto de u y v, denotado u • v, se define como el número real que viene dado por u • v = x1x2 + y1y2   Sean u = (x1; y1, z1) y v = (x2; y2; z2). El producto escalar o producto punto de u y v, denotado u • v, se define como el número real que viene dado por u • v = x1x2 + y1y2 + z1z2

Ejemplo 3 Calcular el producto escalar, en función de sus componentes de los siguientes vectores 1. u = (-2; 5) y v = (3; 1) 2. u = (-3; 1; 4) y v = (-1; -7; 1) 3. w = (–3; 1) y v = (7; 2) Solución 1. u • v = (-2; 5)(3; 1) = (-2)(3) + (5)(1) = -6 + 5 = -1 2. u • v = (-3; 1; 4)(-1; -7; 1) = (-3)(-1) + (1)(-7) + (4)(1) = 3 - 7 + 4 = 0 3. w • v =(−3; 1) • (7; 2) = (−3)(7) + (1)(2) = −21+ 2 = −19

Producto escalar El producto es calar de dos vectores u y v es un número que resulta de multiplicar el módulo de cada uno de los vectores por el coseno del ángulo que forman y se designa. Expresión vectorial Expresión analítica

Ejemplo 4 Calcular el producto escalar de los siguientes vectores u = (-2; 5); v = (3; 1)

4.5. Producto vectorial El producto vectorial tiene una definición algo más compleja. Ello no se debe a simple capricho, sino a un propósito determinado, ya que dicha operación aparecerá a menudo en cálculos de Física. Puesto que su definición mediante componentes es poco intuitiva, comenzaremos por dar sus tres características principales: dirección, sentido y módulo.

4.5. Producto vectorial Sean dos vectores A = (Ax, Ay, Az) y B = (Bx, By, Bz). El vector producto vectorial C = A × B tiene las siguientes características: - Módulo. Si los vectores A y B forman un ángulo 2 entre sí, el módulo del producto vectorial es C = ABsenθ - Dirección. El producto vectorial es perpendicular al plano formado por los vectores A y B. - Sentido. Existen varias reglas mnemotécnicas para recordarlo. La más usual es la llamada regla del tornillo (o del sacacorchos): el sentido del vector producto es el sentido de avance de un tornillo o sacacorchos que gire tendiendo a hacer coincidir, por el camino más corto, la dirección del primer vector con la dirección del segundo vector.

4.5. Producto vectorial Dos vectores A y B el producto vectorial A x B se define como un tercer vector C, cuya magnitud es ABsenθ, donde θ es el ángulo formado por los vectores A y B. Es decir, si C está dado por C = A x B su magnitud es C = ABsenθ

4.6. Ángulo entre vectores Se define como el menor ángulo positivo determinado por ambos al estar aplicados en un origen común.

Ejemplo 5 Calcular el ángulo entre los siguientes vectores u = (-2; 5); v = (3; 1)

Ejemplo 6 Calcular el ángulo entre los siguientes vectores w = (–3; 1) y v = (7; 2)

Vectores ortogonales Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto escalar es cero.

θ 4.7. Dirección de un vector y B x A El sentido del vector es el que va desde el origen A al extremo B. y B θ x A

Ejemplo 7 Calcula su dirección

Ejemplo 8 Calcula su dirección Para determinar la dirección nos auxiliaremos de un ángulo a

Ejemplo 9 Comprobar que los vectores u = (1; 2) y v = (−2; 1) son ortogonales. Calculamos el producto escalar de los dos vectores: u·v = (1,2)·(−2,1) = −2 + 2 = 0, como los vectores son no nulos, el coseno del ángulo que forman es cero, cos α = 0, es decir, el ángulo que forman los dos vectores es: α = 90º

4.8. Combinación lineal

Ejemplo 10 Producto escalar Magnitud

Ejemplo 10 Calcular el ángulo entre los siguientes vectores θ

Ejemplo 10

Ejemplo 11 Producto escalar Magnitud

Ejemplo 11 Calcular el ángulo entre los siguientes vectores θ

Ejemplo 11

Ejemplo 12 Producto escalar Magnitud

Ejemplo 12 Calcular el ángulo entre los siguientes vectores θ

Ejemplo 12