Tele clase 5 Sistemas de ecuaciones lineales

Ejemplo 3 4 5 2 6 7 1 20 15 8 14 16 9 19 13 17 13 10 12 18 11

Ejemplo 3 4 5 2 6 7 1 20 15 8 14 16 9 19 17 13 10 12 18 11

Tipos de métodos Se obtiene la solución exacta (si no se realizan redondeos) en un número finito de pasos. Directos: Iterativos: Se genera una sucesión de soluciones aproxima-das que converge hacia la solución del sistema.

Métodos directos y su eficiencia Número de operaciones Cramer O(n4) X=A-1B Invertir: O(4n3/3) Gauss O(n3/3)

Ejemplo f1 9 -2 5 2 3 -1 1 f2 f3

Ejemplo 2 3 -2 -1 1 9 5 f1 f2 f3 m2 = 3/2 = 1,5 f2 := f2 - m2 f1 m3 = 0/2 = 0 f3 := f3 - m3 f1

Ejemplo f1 2 3 -1 9 f2 -6,5 2,5 -15,5 f3 2 -1 5 m3 = 2/-6.5 f3 = f3 - m3 f2

Ejemplo f1 2 3 -1 9 f2 -6,5 2,5 -15,5 f3 -0,2308 -0,2308

El método de Gauss a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn

Proceso directo Pivote

Proceso directo Pivote

Proceso directo Pivote

Proceso directo Pivote

Proceso directo Pivote

Proceso inverso a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a22x2 + ... + a2nxn = b2 annxn = bn

Proceso inverso a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a22x2 + ... + a2nxn = b2 annxn = bn

Proceso inverso a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a22x2 + ... + a2nxn = b2 annxn = bn

Proceso inverso a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a22x2 + ... + a2nxn = b2 annxn = bn

Algoritmo de Gauss Se desea resolver el sistema determinado AX = B, donde A es de orden n x n Formar la matriz ampliada C Escalonar la matriz C (Proceso Directo) Hallar las incógnitas (Proceso Inverso)

Formar la matriz ampliada C for i = 1 to n for j = 1 to n ci j := ai j end ci,n+1 := bi end

Algoritmo de Gauss Se desea resolver el sistema determinado AX = B, donde A es de orden n x n Formar la matriz ampliada C Escalonar la matriz C (Proceso Directo) Hallar las incógnitas (Proceso Inverso)

Algoritmo de Gauss Se desea resolver el sistema determinado AX = B, donde A es de orden n x n Formar la matriz ampliada C Escalonar la matriz C (Proceso Directo) Hallar las incógnitas (Proceso Inverso)

Proceso Directo for k =1 to n -1 {k: fila pivote} Seleccionar la fila pivote for i = k +1 to n {i: fila a modificar} m := ci k/ckk for j = k +1 to n+1 ci j := ci j - m ck j end end end

Algoritmo de Gauss Se desea resolver el sistema determinado AX = B, donde A es de orden n x n Formar la matriz ampliada C Escalonar la matriz C (Proceso Directo) Hallar las incógnitas (Proceso Inverso)

Algoritmo de Gauss Se desea resolver el sistema determinado AX = B, donde A es de orden n x n Formar la matriz ampliada C Escalonar la matriz C (Proceso Directo) Hallar las incógnitas (Proceso Inverso)

Proceso inverso i:= n do while i  1 xi := ci, n+1 for j = i+1 to n xi := xi - ci j xj end xi := xi /ci i i := i - 1 end

Algoritmo de Gauss Se desea resolver el sistema determinado AX = B, donde A es de orden n x n Formar la matriz ampliada C Escalonar la matriz C (Proceso Directo) Hallar las incógnitas (Proceso Inverso)

Estrategias de pivote ¿Cómo seleccionar la fila pivote? Estrategia elemental Estrategia parcial Estrategia total

Estrategia elemental i := k do while ci k<  and i  n i := i+1 end if i > n then Terminar if i > k then for j = k to n+1 prov:=ci j; ci j:= ck j ; ck j := prov end end

Estrategias de pivote ¿Cómo seleccionar la fila pivote? Estrategia elemental Estrategia parcial Estrategia total

Estrategias de pivote ¿Cómo seleccionar la fila pivote? Estrategia elemental Estrategia parcial Estrategia total

Estrategia parcial Max:=ckk FilaDeMax := k for i = k+1 to n If ci k> Max then Max := ci k FilaDeMax := i end end If Max <  then Terminar

Estrategia parcial if FilaDeMax > k then for j = k to n+1 prov := cFilaDeMax, j cFilaDeMax, j := ck, j ck, j := prov end end

Estrategias de pivote ¿Cómo seleccionar la fila pivote? Estrategia elemental Estrategia parcial Estrategia total

Cantidad de operaciones Proceso directo productos Proceso inverso productos Total productos

Ejemplo ¿Qué tiempo tardaría en resolver un sistema de 30 ecuaciones lineales una computadora que realiza 1 000 000 de productos por segundo si utiliza: el método de Cramer y calcula los determinantes por menores? el método de Gauss?

Solución: Mediante el método de Cramer: 31 determinantes de orden 30 3130 “ “ “ 29 313029 “ “ “ 28 313043 “ “ “ 2 = 8.222838654·1033 31! productos = 8,22·1027 segundos = 2,28·1024 horas = 2,61·1020 años = 2,61·1014 millones de años

Solución: Mediante el método de Gauss: productos productos = 9000 productos = 0,009 segundos

Ejemplo Halle las ecuaciones paramétricas de una curva que pase por los cuatro puntos: P1, P2, P3 y P4 en ese orden 1 3 4 x y P3 P2 P1 P4

Ejemplo Curva: x(t) = a0t3 + a1t2 + a2t + a3 y(t) = b0t3 + b1t2 + b2t + b3 t = 1 P1 x(1) = 1; y(1) = 1 t = 2 P2 x(2) = 4; y(2) = 3 t = 3 P3 x(3) = 1; y(3) = 3 t = 4 P4 x(4) = 4; y(4) = 1

Ejemplo Curva: x(t) = a0t3 + a1t2 + a2t + a3 y(t) = b0t3 + b1t2 + b2t + b3 x(1) = 1 x(2) = 4 x(3) = 1 x(4) = 4

Ejemplo Curva: x(t) = a0t3 + a1t2 + a2t + a3 y(t) = b0t3 + b1t2 + b2t + b3 x(1) = 1 1 = a0 + a1 + a2 + a3 x(2) = 4 4 = 8a0 + 4a1 + 2a2 + a3 x(3) = 1 1 = 27a0 + 9a1 + 3a2 + a3 x(4) = 4 4 = 64a0 + 16a1 + 4a2 + a3

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo a0 = 2 a1 = -15 a2 = 34 a3 = -20 x(t) = 2t3 - 15t2 + 34t - 20

Ejemplo Curva: x(t) = a0t3 + a1t2 + a2t + a3 y(t) = b0t3 + b1t2 + b2t + b3 P1 t = 1 x(1) = 1; y(1) = 1 P2 t = 2 x(2) = 4; y(2) = 3 P3 t = 3 x(3) = 1; y(3) = 3 P4 t = 4 x(4) = 4; y(4) = 1

Ejemplo Curva: x(t) = a0t3 + a1t2 + a2t + a3 y(t) = b0t3 + b1t2 + b2t + b3 y(1) = 1 y(2) = 3 y(3) = 3 y(4) = 1

Ejemplo Curva: x(t) = a0t3 + a1t2 + a2t + a3 y(t) = b0t3 + b1t2 + b2t + b3 y(1) = 1 1 = b0 + b1 + b2 + b3 y(2) = 3 3 = 8b0 + 4b1 + 2b2 + b3 y(3) = 3 3 = 27b0 + 9b1 + 3b2 + b3 y(4) = 1 1 = 64b0 + 16b1 + 4b2 + b3

Ejemplo

Ejemplo a0 = 2 a1 = -15 a2 = 34 a3 = -20 b0 = 0 b1 = -1 b2 = 5 b3 = -3 x(t) = 2t3 - 15t2 + 34t - 20 y(t) = - t2 + 5t - 3

Grafico

Sistemas tridiagonales =

Sistemas tridiagonales

Sistemas tridiagonales

Sistemas tridiagonales

Sistemas tridiagonales

Sistemas tridiagonales

Sistemas tridiagonales i: 2...n

Sistemas tridiagonales

Sistemas tridiagonales

Algoritmo for i = 2 to n end xn := qn i := n - 1 repeat i := i - 1 until i = 0

Algoritmo for i = 2 to n end xn := qn i := n - 1 repeat i := i - 1 until i = 0 La solución es x1, x2 ,..., xn Terminar

Cantidad de operaciones Para resolver un sistema tridiagonal de n ecuaciones lineales, el método de Gauss especializado requiere 8n operaciones

Calculo de determinantes Se desea hallar el determinante de la matriz A de orden n Escalonar la matriz A Cada vez que se permutan dos filas, cambia el signo del determinante Hallar el producto de los elementos de la diagonal de la matriz escalonada.

Calculo de determinantes Signo := 1 for i = 1 to n-1 Hallar la fila pivote, k if k > i then Intercambiar filas i y k Signo := - Signo end end

Calculo de determinantes if k > i then Intercambiar filas i y k Signo := - Signo end end Determinante := Signo for i = 1 to n Determinante := aii*Determinante end Terminar

Inversión de matrices Se quiere hallar la inversa de la matriz no singular Hallar X3x3 tal que: AX = I3x3

Inversión de matrices

Inversión de matrices

Inversión de matrices

Inversión de matrices

Cantidad de operaciones

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Norma de un vector Si x es el vector de Rn la norma de x se define como el escalar:

Norma de un vector Si A es una matriz de n x n la norma de A se define como:

Ejemplo = 5 = 8

Sistemas mal condicionados El sistema Ax = b se llama mal condicionado si pequeños cambios en los coeficientes del sistema conducen a grandes cambios en su solución.

Ejemplo Solución: x = 1; y = 1 Solución: x = 2; y = 0

Numero de condición El número de condición del sistema Ax = b se denota: cond(A) y se define como: cond(A) =

Ejemplo cond(A) = 404

Bibliografía Texto: Secciones 3.1, 3.2, 3.3 y 3.4

Ejercicios recomendados Sección 3.2: 1, 3 Sección 3.3: 1a), 4a) y 7a) Sección 3.4: 1 y 2