MT-21 PPTCANMTALA07001V1 Clase Números

Aprendizajes esperados Identificar pertenencia de números a los conjuntos numéricos. Reconocer los números a través de sus características. Comparar distintos tipos de números. Aplicar conceptos aritméticos (números primos, pares, impares, múltiplos y divisores). Transformar decimales a fracciones y viceversa. Aplicar características numéricas en la resolución de problemas.

Pregunta oficial PSU 14. La suma de tres números impares consecutivos es siempre I) divisible por 3. II) divisible por 6. III) divisible por 9. Es (son) verdadera(s) A) solo I. B) solo II. C) solo I y III. D) solo II y III. E) I, II y III. Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2010.

1. Conjuntos numéricos 2. Definiciones 3. Orden 4. Transformaciones 5. M.C.D. y m.c.m. 6. Propiedades

1. Conjuntos numéricos Q* = Naturales: IN = {1, 2, 3, 4, 5, …} Cardinales: IN0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …} Enteros: Z = {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …} a b / a y b son enteros, y b es distinto de cero Q = Racionales: Todo número entero es racional IN IN0 Z Q a: numerador y b: denominador Irracionales: Q* = Son aquellos números que NO se pueden escribir como una fracción

1. Conjuntos numéricos NO es racional. 15 Los números racionales pueden expresarse como fracciones o como números decimales: Racional Fracción Decimal Propia Impropia numerador menor que el denominador numerador mayor que el denominador Finito Periódico Semiperiódico Ej: 0,04 Ej: 0,444… Ej: 0,244… Número mixto número entero más fracción

1. Conjuntos numéricos IR = Q U Q* IR U II = O IR x II = C II C Reales: IR = Q U Q* Imaginarios: Todo número que NO es real, es imaginario. IR U II = O Complejos: IR x II = C IN IN0 Z Q IR C Z IN0 IN Q Q* R II C II C

Por ejemplo, 5, 10, 30, 45 son múltiplos de 5. 2. Definiciones 2.1 Paridad e imparidad Números pares Son de la forma 2n, con n en los naturales. {2, 4, 6, 8, 10,…, 2n} Números impares Son de la forma 2n – 1, con n en los naturales. {1, 3, 5, 7, 9,…, 2n – 1} 2.2 Múltiplos Los múltiplos de un número son aquellos números que se obtienen al multiplicar dicho número por algún número natural. Por ejemplo, 5, 10, 30, 45 son múltiplos de 5.

Por ejemplo, los divisores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. 2. Definiciones 2.3 Divisores Los divisores de un número son aquellos números naturales que lo dividen exactamente (división con resto cero). Por ejemplo, los divisores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. 2.4 Números primos Son aquellos números naturales que solo son divisibles por 1 y por sí mismos (solo tienen 2 divisores). {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,…}. El 1 NO es primo, pues tiene un solo divisor.

Si n pertenece a IN – {1}, su antecesor será n – 1. 3. Orden 3.1 Consecutividad numérica Sucesor Todo número natural tiene un sucesor, y se obtiene sumando 1 al número, es decir: Si n pertenece a IN, su sucesor será n + 1. Antecesor Todo número natural (exceptuando el 1) tiene un antecesor y se obtiene al restar 1 al número, es decir: Si n pertenece a IN – {1}, su antecesor será n – 1. Naturales consecutivos n – 1 n n + 1 antecesor sucesor

3. Orden 3.2 Comparación de fracciones Igualar denominadores Multiplicación cruzada Se amplifican las fracciones hasta igualar denominadores. Luego se comparan los numeradores. Se multiplican cruzados numeradores y denominadores, y luego se comparan estos productos. Ejemplo: 13 15 7 12 Ejemplo: y Al comparar 13∙4 15∙4 7∙5 12∙5 Al comparar 13 15 7 12 y 156 y 105 13 ∙ 12 y 15 ∙ 7 52 60 35 y 13 15 7 12 > 13 15 7 12 > Como 52 > 35, Como 156 >105 ,

4. Transformaciones De número mixto a fracción impropia Se debe multiplicar el número entero por el denominador, luego a este producto se le suma el numerador. Este resultado pasa a ser el nuevo numerador y el denominador se mantiene. Ejemplo: De fracción a decimal Se debe dividir el numerador por el denominador. Ejemplo:

4. Transformaciones De decimal finito a fracción El numerador, de la nueva fracción, corresponde al decimal pero sin coma. El denominador es una potencia de 10 con tantos ceros como decimales tuviera el racional a transformar. Ejemplo: De decimal periódico a fracción El numerador de la fracción es la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma, y la parte entera. El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período. Se llama período al conjunto de dígitos que se repite indefinidamente. Ejemplos:

4. Transformaciones De decimal semiperiódico a fracción El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras del anteperiodo. El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período, y tantos ceros (0), como cifras tenga el anteperiodo. Ejemplo: Se llama anteperiodo a los números que hay entre la coma decimal y el período. 3,214 = 3.214-32 = 3.182 990

5. M.C.D y m.c.m. Mínimo común múltiplo (m.c.m.) El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números, corresponde al menor de los múltiplos que tienen en común. El m.c.m. entre 3, 6 y 15 se puede obtener a través del siguiente método: Se divide cada número por números primos hasta que en cada columna quede 1. El producto de ellos corresponde al m.c.m. entre 3, 6 y 15. 6 15 3 2 5 2 1 5 5 1 m.c.m. = 3 ∙ 2 ∙ 5 = 30

5. M.C.D y m.c.m. Máximo común divisor (M.C.D.) El máximo común divisor de dos o más números, corresponde al mayor número que los divide simultáneamente. El M.C.D. entre 36, 18 y 24 se puede obtener a través del siguiente método: 36 18 24 2 18 9 12 3 6 3 4 Se divide por números primos que sean divisores de cada número, hasta que ya no se pueda dividir a todos en forma simultánea. La multiplicación de estos primos es el M.C.D. M.C.D. = 2 ∙ 3 = 6

Valor absoluto o módulo 6. Propiedades Valor absoluto o módulo El valor absoluto de un número representa la distancia del número al cero en la recta numérica. Por ejemplo, la distancia del 5 al origen es cinco unidades, igual que la distancia del (– 5) al origen. La notación es: |5| = 5 y |– 5| = 5 -5 5 5 unidades Ejemplo: |– 20| = 20 |34| = 34 |– 12| = 12

6. Propiedades 6.1 Propiedades en N Propiedades de la adición a) Clausura: la suma de dos números naturales es SIEMPRE un natural. b) Conmutatividad: si a y b son números naturales, entonces se cumple que: a + b = b + a c) Asociatividad: si a, b y c son números naturales, entonces se cumple que: a + (b + c) = (a + b) + c En los naturales NO existe neutro aditivo.

a ∙ b = c, donde a y b factores y c producto. 6. Propiedades 6.1 Propiedades en N Propiedades de la multiplicación a ∙ b = c, donde a y b factores y c producto. a) Clausura: el producto de dos números naturales es SIEMPRE un natural. b) Conmutatividad: si a y b son números naturales, entonces se cumple que: a ∙ b = b ∙ a c) Asociatividad: si a, b y c son números naturales, entonces se cumple que: a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c d) Elemento neutro: el elemento neutro de la multiplicación es el 1, ya que: a ∙ 1 = 1 ∙ a = a

6. Propiedades 6.2 Propiedades en N0 En este conjunto, para la adición y la multiplicación, se cumplen las mismas propiedades que en N, solo se agrega la siguiente para la adición: a) Elemento neutro aditivo: el cero es neutro para la adición, ya que a + 0 = 0 + a = a y a continuación para la multiplicación: b) Elemento absorbente: el cero absorbe la multiplicación, ya que a ∙ 0 = 0 ∙ a = 0

6. Propiedades 6.3 Propiedades en Z En este conjunto, para la adición y la multiplicación, se cumplen las mismas propiedades que en N0, solo se agrega la siguiente para la suma: Elemento inverso aditivo (opuesto) : todo número entero posee un elemento inverso aditivo, que cumpla a + – a = 0 = – a + a Ejemplos: El inverso aditivo de 8 es – 8 El inverso aditivo de – 12 es 12

6. Propiedades 6.4 Propiedades en Q Para la multiplicación se cumplen las mismas propiedades que en Z, solo se agrega la siguiente: Elemento inverso multiplicativo o recíproco: todo número racional posee un elemento recíproco, que cumpla a ∙ = 1 = ∙ a Ejemplo: 1 a El inverso multiplicativo o recíproco de 2 9 es

Pregunta oficial PSU 14. La suma de tres números impares consecutivos es siempre I) divisible por 3. II) divisible por 6. III) divisible por 9. Es (son) verdadera(s) A) solo I. B) solo II. C) solo I y III. D) solo II y III. E) I, II y III. Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2010. ALTERNATIVA CORRECTA A

Tabla de corrección Ítem Alternativa Unidad temática Habilidad 1 D Conjuntos numéricos Análisis 2 C 3 B 4 5 E 6 7 A Comprensión 8 Aplicación 9 10 11 12

Tabla de corrección Ítem Alternativa Unidad temática Habilidad 13 C Conjuntos numéricos Análisis 14 15 E 16 B 17 D Comprensión 18 Conocimiento 19 20 21 22 23 24 Evaluación 25 A

Síntesis de la clase NÚMEROS Definiciones 9 número impar múltiplos {9, 18, 27,…} divisores {1, 3, 9} 2 número par múltiplos {2, 4, 6,…} divisores {1, 2} número primo Conjuntos numéricos Orden n n – 1 n + 1 Q Q* R II C IN IN0 Z Q

Síntesis de la clase NÚMEROS Transformaciones Propiedades Elemento neutro aditivo y Elemento absorbente multiplicativo en N0 Inverso aditivo (opuesto) en Z Inverso multiplicativo (recíproco) en Q

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