Una ecuación cuadrática de variable “x” es aquella que puede escribirse en la forma: ax 2 + bx + c = 0 Donde: a, b y c son números reales (a 0). Ejemplo: 2x 2 – 7x + 3 = 0 ( a = 2, b = 7, c = 3 ) DEFINICIÓN FORMAS INCOMPLETAS ax 2 + bx = 0Ejemplo: 3x 2 – 2x = 0 ax 2 + c = 0 Ejemplo: 2x 2 – 32 = 0 ax 2 = 0Ejemplo: 9x 2 = 0
Ejemplo N°1: Resolver x 2 - 7x + 12 = 0 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN Resolución: x 2 7x + 12 = 0 MÉTODO DE FACTORIZACIÓN x (x 3)(x 4) = 0 Factorizando: Entonces: 3x 4x4x = 7x Luego: x – 3 = 0 ó x – 4 = 0 De donde: x = 3 ó x = 4 Por tanto: C.S. = 3; 4 3 4 3 4
Ejemplo N°2: Resolver 3x 2 = 5x Resolución: Escribimos la ecuación de la forma: 3x 2 5x = 0 Factorizamos “x”: x( 3x 5 ) = 0 Luego: x = 0 ó 3x 5 = 0 De donde: x = 0 ó x = 5/3 Por tanto: C.S. = 0; 5/3 OBSERVACIÓN IMPORTANTE: No simplifique una variable en la ecuación original porque se pierde una solución
Ejemplo N°3: Resolver (3x – 4)(x + 1) = – 2 Resolución: Debemos expresar la ecuación en la forma: ax 2 + bx + c = 0 (3x – 4)(x + 1) = – 2 Para ello efectuamos las operaciones de multiplicación en el primer miembro Obtenemos: 3x 2 + 3x – 4x – 4 = – 2 Reduciendo: 3x 2 – x – 2 = 0 Entonces: (3x + 2)(x – 1) = 0 Luego: 3x + 2 = 0 ó x – 1 = 0 De donde: x = – 2/3 ó x = 1 C.S. = –2/3; 1 3x x 2 – 1 2x 3x = x Factorizando:
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN POR LA FÓRMULA CUADRÁTICA (de Carnot) Dada la ecuación: ax 2 + bx + c = 0, sus raíces pueden calcularse mediante la fórmula A la cantidad subradical: b 2 – 4ac se le llama discriminante y se representa por Es decir: = b 2 – 4ac
PROPIEDADES DEL DISCRIMINANTE 1. Si > 0, la ecuación tiene raíces reales y diferentes Ejemplo: Resolver 2x 2 – 3x – 1 = 0 Resolución: Identificamos los valores de los coeficientes: a = 2; b = – 3; c = –1 Reemplazamos en: Obtenemos: De donde:
PROPIEDADES DEL DISCRIMINANTE 2. Si = 0, la ecuación tiene raíces reales e iguales Ejemplo: Resolver 4x 2 – 12x + 9 = 0 Resolución: Identificamos los valores de los coeficientes: a = 4; b = – 12; c = 9 Reemplazamos en: Obtenemos: De donde:
PROPIEDADES DEL DISCRIMINANTE 3. Si < 0, la ecuación tiene raíces imaginarias Ejemplo: Resolver x 2 + x + 1 = 0 Resolución: Identificamos los valores de los coeficientes: a = 1; b = 1; c = 1 Reemplazamos en: Obtenemos: Por tanto: La ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales ( sus soluciones son imaginarias )
MÉTODO DE COMPLETACIÓN DE CUADRADOS Ejemplo: Resolver x x - 6 = 0 Resolución: Verificamos la forma ecuación cuadrática. Sumamos a ambos miembros el resultado. Identificamos al segundo termino “b” Sacamos la mitad al segundo termino y el resultado lo elevamos al cuadrado Resolvemos. 5
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES CUDRÁTICAS
APLICACIONES Equilibrio de mercado Cuando el precio de un producto es p dólares por unidad, suponga que un fabricante suministrará 3p 2 – 4p unidades del producto al mercado y que los consumidores demandarán 24 – p 2 unidades. Determine el valor de p para que el mercado esté en equilibrio (oferta = demanda) Resolución Oferta = 3p 2 – 4p Demanda = 24 – p 2 3p 2 – 4p = 24 – p 2 Luego: 4p 2 – 4p – 24 = 0 Simplificando: p 2 – p – 6 = 0 Factorizando: (p – 3)(p + 2) = 0 Luego: p = 3 ó p = –2 Respuesta: Cuando el precio del producto sea de $3, el mercado estará en equilibrio ( no se toma en cuenta el otro valor pues no podemos hablar de precio negativo )
APLICACIONES Negocios Una compañía determina que si se produce y vende q unidades de un producto, el ingreso total por las ventas será de 100 q. Si el costo variable por unidad es de $ 2 y el costo fijo de $ 1200, determine los valores de q para los que: Ingreso total por ventas = costo variable + costo fijo (Esto es, utilidad cero) Resolución Datos: Costo variable = 2q Costo fijo = 1200 Elevando al cuadrado: 10000q = 4q q Reduciendo: q 2 – 1300q = 0 Factorizando: (q – 900)(q – 400) = 0 Luego: q = 900 ó q = 400 Respuesta: Si se producen y venden 400 ó 900 unidades, la utilidad será cero