Calculo Diferencial Ingeniería Agroindustrial

Presentación del tema: "Calculo Diferencial Ingeniería Agroindustrial"— Transcripción de la presentación:

1 Calculo Diferencial Ingeniería Agroindustrial
Funciones y Modelos

2 Funciones y dominios Una función real f de una variable es una regla que asigna a cada número real x en un conjunto especificado de números reales llamado el dominio de f, un número real único f(x). La variable x se llama la variable independiente. Si y = f(x) llamamos a y la variable dependiente. Una función puede ser especificado: numéricamente: por medio de una tabla algebraicamente: por medio de una formula gráficamente: por medio de una gráfica. Nota acerca de los dominios   El dominio de una función no es siempre explícitamente especificado; cuando no se especifica algún dominio para una función f, supondremos que el dominio está el conjunto más grande de los números x para los cuales tiene sentido f(x). Esta "dominio más grande posible" se le llama a veces el dominio natural.

3 Ejemplos Función especificado numéricamente Sea f la función especificada por la siguiente tabla: x 1 2 3 f(x) 3.01 -1.03 2.22 0.01 Entonces, f(0) = 3.01, f(1) = -1.03, y así sucesivamente. Función especificado algebraicamente: Sea f la función especificada por f(x) = 3x2 -4x + 1. Entonces f(2) = 3(2)2 - 4(2) + 1 = 12 - 8 + 1 = 5,  f(-1) = 3(-1)2 - 4(-1) + 1 = = 8. Como f(x) se defina para toda x, el dominio de f es el conjunto de todos números reales. Función especificado gráficamente: Sea f la función especificada por la siguiente gráfica. Entonces, f(0) = 1, f(1) = 0, y f(3) = 5.

4 Intervalos Intervalo Dibujo Descripción [-1, 6) -1 ≤ x < 6 (2, 4)
El intervalo cerrado [a, b] es el conjunto de todos números reales x tal que a ≤ x ≤ b. El intervalo abierto (a, b) es el conjunto de todos números reales x tal que a < x < b. El intervalo (a, ∞) es el conjunto de todos números reales x tal que a < x < +∞, y (-∞, b) es el conjunto de todos números reales x tal que -∞ < x < b. Tenemos también intervalos medios abiertos de la forma [a, b) y (a, b]. Intervalo Dibujo Descripción [-1, 6) -1 ≤ x < 6 (2, 4) 2 < x < 4 (-∞, 0] -∞ < x ≤ 0 Gráfica de una función La gráfica de una función f es el conjunto de todos puntos (x, f(x)) en el plano-xy, tal que restringimos los valores de x al estar en el dominio de f.

5 Una función lineal es una función de la forma
Funciones lineales Una función lineal es una función de la forma donde m y b son números fijos (los nombres 'm' y 'b' son tradicionales). Papel de m: Si y = mx + b, entonces:   (a) y cambia en m unidades para cada cambio de x en una unidad.   (b) Un cambio de Δx unidades en x resulta en un cambio de Δy = mΔx unidades en y.   (c) Despejando a m, se obtiene Papel de b: Cuando x = 0, y = b (forma de ecuación), o f(0) = b (forma de función) La función f(x) = 5x - 1 es una función lineal donde m = 5 y b = -1. Las siguientes ecuaciones se puede solucionar para y como funciones lineales de x. 3x - y + 4 = 0 y = 3x + 4 4y = 0 y = 0 3x + 4y = 5 y = -(3/4)x + 5/4

6 Rectas La gráfica de una ecuación lineal es una recta. El pendiente de la recta que pasa por (x1, y1) y (x2, y2) es se expresa por la formula            La gráfica de la función lineal es una recta con pendiente m y intersección en y igual a b.

7 Funciones Cuadráticas
Una función cuadrática es una función en la forma f(x) = ax2 + bx + c     (con a ≠ 0). Su gráfica se llama una parábola. El vértice de este parábola se ocurre al punto de la gráfica con coordenada x dado por -b/(2a). Cruza el eje y (intersección en y) a y = c. Cruza el eje x (intersección(es) en x) a las soluciones de la ecuación cuadrática x2 + bx + c = 0 (si hay cualesquiera soluciones). Es simétrica respecto a la recta vertical por el vértice. Si es positivo el coeficiente (a) de x2, es cóncava hacia arriba (como en el ejemplo hacia la derecha). Si es negativo el coeficiente a, es cóncava hacia abajo (como en la figura debajo).

8 MODELOS MATEMÁTICOS. Modelar una situación matemáticamente significa representarla en términos matemáticos. La representación particular que se usa se llama un modelo matemático de la situación. Los ejemplos 1 y 2 son modelos analíticos, obtenidos por analizar la situación que está siendo modelada, mientras que el ejemplo 3 es un modelo ajuste de curva, obtenido por hallar una formula matemática que aproxima los datos observados.

9 Modelos costo, ingreso y utilidad
Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuencia, C(x) es el costo de x artículos, y tiene la forma Costo = Costo variable + Costo fijo en la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función costo de la forma C(x) = mx + b Si el costo a fabricar x refrigeradoras es C(x) = 2x2 + 150x + 6000 dólares, entonces el costo variable es 2x2 + 150x y el costo fijo es $6000. se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el costo fijo es b. La pendiente m, el costo marginal, mide el costo incremental por artículo Una función ingreso R especifica el ingreso R(x) que resulta de la venta de x artículos Si se vende las refrigeradoras para $500 cada una, entonces el ingreso es I(x) = 500x dólares

10 Una función utilidad U especifica la utilidad (ingreso neto) I(x) que resulta de la venta de x artículos. Las funciones costo, ingreso y utilidad se relacionan con la formula U(x) = I(x) - C(x). Equilibrio se ocurre cuando P(x) = 0 o, equivalentemente, cuando I(x) = C(x). Equilibrio ocurre cuando P(x) = −2x2 + 350x − 6000 = 0. Despejar a x por la formula cuadrática se da dos soluciones: x ≈ y Cuando x está entre estos dos valores, U(x) es positiva, que significa una utilidad. Por lo tanto, se debe fabricar y vender al menos 20 refrigeradoras (pero no más que 155) para realizar una utilidad.

11 Ejercicios El tercer ejemplo, donde el costo para comprar un numero de artículos (bebidas en ese caso) fue expresado como una función del número x de artículos. Esta función es un ejemplo de una función (de) costo

12 parte no constante, = 3.5x de la función costo.
El costo diario de una compañía por imprimir x novelas de ciencia ficción en formato rústica es C(x) = 3.50x + 1200 dólares. Note que C es medido en dólares, y x es medido en libros (novelas de ciencia ficción en rústica, más precisamente). El costo marginal es m = 3.5, y el costo fijo es b = 1200. C(0) = 3.50(0) + 1200 = 1200 C(100) = 3.50(100) + 1200 = 1550 C(101) = 3.50(101) + 1200 = 1553.5 m = 3.5. aumentar x por 1 libro aumenta el costo por m = 3.5. parte no constante, = 3.5x de la función costo.

13 Función de ingreso El ingreso que resulta de una o más transacciones comerciales es el pago total recibido, y a veces se la llama ingreso bruto. Si I(x) es el ingreso por vender x artículos al precio de m cada uno, entonces I es la función lineal I(x) = mx y el precio de venta m se puede también llamar ingreso marginal. Ejemplo Suponga que la casa editorial vende libros de ciencia ficción rústicos a un distribuidor para $6.50 por libro. Entonces I(x) = 6.50x dólares. El ingreso marginal es m = $6.50 por libro.

14 Costo diario de imprimir x libros I(x) = 6.50x dólares.
Si regresamos al ejemplo de las novelas de ciencia ficción, ya tenemos las funciones costo y ingreso: C(x) = 3.50x + 1200 dólares. Costo diario de imprimir x libros I(x) = 6.50x dólares. Ingresos por la venta de x libros La utilidad marginal es el coeficiente de x en la función utilidad.: $3.00/artículo. Por lo tanto, debería vender ??? libros por día para salir tablas, y más para obtener una utilidad de $??? por libro adicional. ($??? es la utilidad marginal.)

15 A veces, es más conveniente expresar modelos en forma ecuación:

16 Un estudio de productividad en el turno matinal en una cierta fábrica indica que un trabajador medio que llega al trabajo a las 8.00 a.m. habrá ensamblado radio transistores x horas después. ¿En que momento de la mañana esta actuando el trabajador con máxima eficacia? Cantidad de radios producida por hora= t no puede ser -1 ya que el tiempo no se puede expresar en unidades negativas. Ahora comprobaremos que es la máxima productividad

17 Un fabricante ha estado vendiendo lámparas a 6 dólares cada una y, a este precio, los consumidores han estado comprando 6,000 lámparas por mes. El fabricante desearía elevar el precio y estima que por cada dólar de incremento en el precio se venderán 1,000 lámparas menos cada mes. El fabricante puede producir las lámparas a un costo de 4 dólares por lámpara. ¿A qué precio debería vender el fabricante las lámparas para generar al mayor beneficio posible? Ahora estableceremos la función beneficio la cual la derivaremos para poder calcular el máximo beneficio y si la 2da derivada es negativa comprobaremos lo dicho Entonces diremos que el fabricante para obtener más beneficios lo que debe hacer es reducir el precio en hasta 5.998

18 Un cultivador de naranjas de Tambogrande estima que si se plantan 60 naranjos, la producción media por árbol será de 400 naranjas. La producción media decrecerá en 4 naranjas por árbol adicional plantado en la misma extensión. ¿Cuántos árboles debería plantar el cultivador para maximizar la producción total? Para maximizar PT

19 Oferta y demanda Las funciones de oferta y demanda de un cierto articulo son S(p)=4p y D(p)= -3p +480, respectivamente. Halle el punto de equilibrio y el correspondiente número de unidades ofertadas y demandadas, y dibuje las curvas de oferta y demanda en el mismo conjunto de ejes. En punto de equilibrio: S(p) = D(p)

20 La demanda de consumo para un cierto artículo es D(p) = -200p + 12
La demanda de consumo para un cierto artículo es D(p) = -200p unidades por mes cuando el precio de mercado es de p dólares por unidad. a) Dibuje esta función de demanda. b) Exprese el gasto total mensual de los consumidores para el artículo como una función de p. (El gasto total mensual es la cantidad total de dinero gastado por los consu­midores cada mes en el artículo.) GT = p (-200p ) GT = - 200p p c) Dibuje la función gasto total mensual. e) Use el gráfico de la parte c) para estimar el precio de mercado que genera el mayor gasto de consumo. Para determinar con que precio se obtendrá el mayor gasto tendremos que derivar el gasto

21 Costos Suponga que el coste total (en dólares) de fabricación de q unidades viene dado por la función C (q) = 3q2 + q + 48. a. Exprese el coste medio de fabricación por unidad como una función de q. Cme= b. ¿Para qué valor de q es menor el coste medio? c ¿Para qué valor de q es igual el coste medio al coste marginal? Compare este valor con su respuesta de la parte b). Primero hallamos el costo marginal Ahora igualamos el Cme y el Cmg

22 Se puede deducir que el valor obtenido es del mismo valor que en la pregunta b), con lo cual se puede deducir que el punto en el que se intercepta el costo marginal con el costo medio es justo cuando el costo medio esta en su mínimo. En el mismo conjunto de ejes represente las funciones de coste total, coste marginal y coste medio

23 Una caja cerrada con base cuadrada debe tener un volumen de 250 metros cúbicos. El material para el suelo y la tapa de la caja cuesta 2 dólares por metro cuadrado y el material para los lados cuesta un dólar por metro cuadrado. ¿Puede construirse la caja por menos de 300 dólares?

24 Bibliografía