RESOLUCIÓN DE SISTEMAS U.D. 1 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

PARÁMETROS EN SISTEMAS U.D. 1.5 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

ANÁLISIS DE RESULTADOS Al aplicar el método de Gauss obtengo: a.x + b.y + c.z = d + e.y + f.z = g h.z = j Si h<>0 y hay tantas ecuaciones como incógnitas: SISTEMA COMPATIBLE Y DETERMINADO (Una solución). Si h<>0 y hay menos ecuaciones válidas que incógnitas: SISTEMA COMPATIBLE E INDETERMINADO (Infinitas soluciones). Si h = 0 y j <> 0 : SISTEMA INCOMPATIBLE (No hay ninguna solución). @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

PARÁMETROS EN UNA ECUACIÓN Un parámetro en una ecuación es una constante de valor desconocido, no una incógnita. Puede aparecer como coeficiente de la incógnita o incógnitas o como parte del término independiente. El valor de la/s incógnita/s dependerá del parámetro o parámetros, por lo que la ecuación quedará indeterminada. Ejemplo 1 a.x + 4 = 5  a.x = 1  x = 1/a Ejemplo 2 x + a = 5.b  x = 5.b – a Ejemplo 3 x + a.y = 5  y = (5 – x) / a a.x + y = 3.b  y = 3.b – a.x @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

PARÁMETROS EN UN SISTEMA Un parámetro en un sistema es una constante de valor desconocido, no una incógnita. Puede aparecer en una o en varias de las ecuaciones del sistema. Igualmente puede haber varios parámetros diferentes. El sistema se resolvería por los métodos estudiados, salvo que al final el tipo de sistema estaría determinado por el posible valor que tomase el parámetro o parámetros. Ejemplo 1 x + y = 2 2x – ay = – 1 F2=F2 – 2.F1 x + y = 2 (– a – 2).y = – 1 – 4  h = – a – 2 ; j = – 5  Discusión j<>0 Si – a – 2 = 0  a = – 2  Sistema incompatible. Si a <> – 2  Sistema compatible y determinado. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Ejemplos con parámetros x – 3y = 2 3x + ay = 6 F2=F2 – 3.F1 x – 3.y = 2 (a + 9).y = 0  h = a + 9 ; j = 0  Discusión j=0  El sistema no puede ser incompatible Si a + 9 = 0  a = – 9  Las dos ecuaciones son equivalentes   Sistema compatible e indeterminado: y = y ,, x = 2 + 3.y Si a + 9 <> 0  a <> – 9  Sistema compatible y determinado: y= 0 / (a+9) = 0 ,, x = 2 + 3.y = 2 + 0 = 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Ejemplo 3 x – y = 4 2x + ay = 4 F2=F2 – 2.F1 x – y = 4 (a + 2).y = 4 – 8  h = a + 2 ; j = – 4  Discusión El tipo de sistema dependerá del valor del parámetro a. Como j<>0  El sistema puede ser incompatible Si a = – 2  Sistema incompatible, pues h=0 y j<>0 Si a <> – 2  Sistema compatible y determinado: y = – 4/(a+2) x = 4 + y = 4 – 4/(a+2) = (4.a + 8 – 4)/(a+2) = (4.a + 4)/(a+2) Es determinado porque los valores de x e y son únicos para cada valor que pueda tomar el parámetro a. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. EJEMPLO 4 x + y - z = 1 2x - y + z = a x - 2y + az =1 F3 = F3 – F1 y F2 = F2 – 2.F1 Queda: x + y - z = 1 - 3y + 3.z = a – 2 - 3y + (a+1).z = 0 F3 = F3 – F2 Y obtengo finalmente: x + y - z = 1 + (a – 2).z = 2 – a Discusión: h=a – 2 ; j = - h = 2 – a El sistema nunca será incompatible, pues h=0 y j<>0 nunca se podrán dar a la vez. Caso 1: Si a = 2  h=0 ,, j= 0  Compatible e indeterminado: y = (a – 2 – 3z) / (-3)  x = 1 + z – [ y ] Caso 2: Si a <> 0  Compatible y determinado: z = – 1  y = (a – 2 + 3) / (-3) = (– 1 – a) / 3  x = 2 – (– 1 – a) / 3 x = (7 + a) / 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. EJEMPLO 5 x + 3y + z = 0 ax + y - z = 0 3x+10y +4z =0 F3 = F3 – 3F1 y F2 = F2 – a.F1 Queda: x + 3y + z = 0 (1 – 3.a)y – (1+a).z = 0 y + z = 0 F2 = F2 – (1 – 3.a). F3 y permuto las F2 con F3 Y obtengo finalmente: x + 3y + z = 0 y + z = 0 (2.a – 2).z = 0 Discusión: j = 0  El sistema nunca será incompatible. Caso 1: Solución trivial sistemas homogéneos: x=y=z=0 Caso 2: Si a = 1  h=0 ,, j= 0  Compatible e indeterminado: y = – z  x = – z – 3y = 2.z Caso 3: Si a <> 1  Compatible y determinado: z = 0  y = – z = 0  x = – z – 3y = 0  Solución trivial Caso 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.