Apuntes Matemáticas 2º ESO Angel Prieto Benito U. D. 10 * 4º ESO E. AP. CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. Ver dinámica en www.apbweb.es

Apuntes Matemáticas 2º ESO Angel Prieto Benito U. D. 10.3 * 4º ESO E. AP. CRECIMIENTO DE FUNCIONES @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. Ver dinámica en www.apbweb.es

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN La variación de una función f(x) en el intervalo [a, b] se designa por V[a, b] y tiene un valor de: V[a, b] = f(b) – f(a) También se suele llamar Incremento de una función. TASA DE VARIACIÓN MEDIA Se denomina así al cociente: f (b) – f (a) TVM [a, b] = ---------------- b – a Δy También TVM [a, b] = -------- Δx f(b) Δy f(a) Δ x a b @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

FUNCIÓN CRECIENTE Una función y = f(x) decimos que es CRECIENTE en un intervalo [a, b] si tomados dos valores, x y x+h de dicho intervalo, tal que x < x+h se cumple: f (x) < f (x+h) O sea, si la variación es positiva. Ejemplo: Sea la función f(x) = 2.x - 5 Sean los valores x = 2, h = 1 2 < 2+1  f (2) < f (3 )  2.2 – 5 < 2.3 – 5  - 1 < 1 Vemos que se cumple, luego la función es CRECIENTE. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

FUNCIÓN DECRECIENTE Una función y = f(x) decimos que es DECRECIENTE en un intervalo [a, b] si tomados dos valores, x y x+h de dicho intervalo, tal que x < x+h se cumple: f (x) > f (x+h) O sea, si la variación es negativa. Ejemplo: Sea la función f(x) = 2 - 3.x Sean los valores x = 2, h = 1 2 < 2+1  f (2) > f (3 )  2 – 3.2 > 2 – 3.3  - 4 > - 7 Vemos que se cumple, luego la función es DECRECIENTE. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

UN EJEMPLO MIXTO EJEMPLO MIXTO TABLA La función f(x) = x2 es creciente y decreciente, pero no en el mismo intervalo. Sean los valores x = - 3, h = 1 - 3 < - 3+1  f (- 3) > f (- 2)  (- 3)2 > ( - 2)2  9 > 4 Vemos que en un entorno de x = - 3 la función es decreciente. Sean los valores x = 3, h = 1 3 < 3+1  f ( 3) < f (4)  32 < 42  9 < 16 x = 3 la función es creciente. TABLA x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 y 16 9 4 1 0 1 4 9 y = f(x) x Aumenta el valor de x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

OTRO EJEMPLO DE CRECIMIENTO La función f(x) = x3 es creciente en todo R Sean los valores x = - 3, h = 1 - 3 < - 3+1  f (- 3) < f (- 2)  (- 3)2 < ( - 2)2  - 8 < 4 Vemos que en un entorno de x = - 3 la función es creciente. Sean los valores x = 3, h = 1 3 < 3+1  f ( 3) < f (4)  33 < 43  27 < 64 x = 3 la función es creciente. TABLA x -3 -2 -1 0 1 2 3 y - 27 -8 -1 0 1 8 27 y = f(x) x Aumenta el valor de x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS y=f (x) MAXIMO ABSOLUTO Una función y = f(x) decimos que presenta un MÁXIMO ABSOLUTO en un punto x=b cuando los valores que toma la función son todos menores que él. MÍNIMO ABSOLUTO Una función y = f(x) decimos que presenta un MÍNIMO ABSOLUTO en un punto x=a cuando los valores que toma la función son todos mayores que él. f (b) f (a) x a b @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS MAXIMOS RELATIVOS.- Una función y = f(x) decimos que presenta un MÁXIMO RELATIVO en un punto x=a cuando, en un entorno reducido de a, se cumple: f (a - h) < f (a) > f (a + h) MINIMOS RELATIVOS.- Una función y = f(x) decimos que presenta un MÍNIMO RELATIVO en un punto x=b cuando, en un entorno reducido de a, se cumple: f (b - h) > f (b) < f (b + h) Nota: h es un incremento de x muy pequeño y siempre positivo (h = Δx > 0) y=f (x) f (a) f (b) x a b @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

UN EJEMPLO MIXTO Sea la función cuadrática f(x) = a.x2 + b·x + c Si a > 0  Parábola cóncava Presenta forma de “valle”. Tiene un vértice en x = – b / 2·a V(– b / 2·a , f(– b / 2·a)) Dicho vértice es un Mínimo relativo y a su vez Absoluto. La función decrece hasta el vértice y luego crece. Es decreciente en el intervalo: (– oo , – b / 2·a) Es creciente en el intervalo: (– b / 2·a , + oo) y = f(x) Aumenta el valor de x x V=Mín @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

UN EJEMPLO MIXTO Sea la función cuadrática f(x) = a.x2 + b·x + c Si a < 0  Parábola convexa Presenta forma de “montaña”. Tiene un vértice en x = – b / 2·a V(– b / 2·a , f(– b / 2·a)) Dicho vértice es un Máximo relativo y a su vez Absoluto. La función crece hasta el vértice y luego decrece. Es creciente en el intervalo: (– oo , – b / 2·a) Es decreciente en el intervalo: (– b / 2·a , + oo) V=Máx y = f(x) x Aumenta el valor de x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejercicio múltiple Ejercicio: Analiza la gráfica siguiente, identificando intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos absolutos y relativos. F y D 4 3 2 1 - 1 A B I K G E H C x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Resolución En el intervalo (0, 2] la función es constante, ni crece ni decrece. Es f(x) = k En el intervalo (2, 3] la función es creciente. Es una función afín, de la forma: f(x) = m.x+n, donde m > 0. El punto D(3,4) es un máximo relativo. En el intervalo (3, 4) la función decrece. El punto E(4, 1)) es un mínimo relativo. En el intervalo (4, 5] la función es creciente. El punto F(5,5) es un máximo absoluto. En el intervalo (5, 6] la función no existe. El intervalo (5, 6] no forma parte del dominio de la función. En el intervalo (6, 8] la función es decreciente. Es una función afín, de la forma: f(x) = m.x+n, donde m < 0. En el intervalo (8, 9) la función es decreciente. El punto J(9 ,– 1) es un mínimo relativo y absoluto a la vez. En el intervalo (9, 10] la función es creciente. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.