Sucesiones Prof. M. Alonso

Sucesiones En esta unidad estudiaremos el concepto de sucesión y el de serie.

Definición Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos. Cuando hablamos de función nos viene a la mente el símbolo f(x), que significaba la y o variable dependiente. Para las sucesiones sin embargo, se utiliza otro símbolo. El símbolo que usamos es el de sn. Como una sucesión es una función podemos hacer su gráfica.

Función vs sucesión Nombre Símbolo para y Símbolo para variable independiente Dominio Ejemplo Función F(x) x Reales o subconjunto de los reales F(x)=2x Sucesión sn n Enteros positivos sn=2n

Gráfica F(x)= 2x Sn=2n Note que la gráfica de una sucesión son puntos que no se unen pues el dominio son solamente los enteros positivos

Ejemplo: Nueva notación F(x) = 3x +1 sn = 3n + 1 F(1) = 3(1) +1 = 4 s1 = 3(1)+1 = 4 F(2) = 3(2) +1 = 7 s2 = 3(2)+1 = 7 F(3) = 3(3) +1 = 10 s3 = 3(3)+1 = 10 F(4) = 3(4) +1 = 13 s4 = 3(4)+1 = 13 F(5) = 3(5) +1 = 16 s5 = 3(5)+1 = 16 F(6) = 3(6) +1 = 19 s6 = 3(6)+1 = 19 Estos números se conocen como los términos de una sucesión

Formas de representar una sucesión A veces las sucesiones se representan en forma de una lista de números. Esos números son precisamente los términos de una sucesión. El ejemplo anterior lo podemos representar de la manera siguiente: 4, 7, 10, 13, 16, 19, . . .

Formas de representar una sucesión 4, 7, 10, 13, 16, 19, . . . s1 s2 s3 s4 s5 s6 Primer término Segundo término Sexto término

Ejemplo Halle el quinto término de la sucesión sn = 2n + 1 Solución: s5 = 25 + 1 = 32 + 1 = 33 Respuesta: el quinto término es el 33

Tipos de sucesiones Aritméticas Geométricas

Tipos de sucesiones Definición Una sucesión aritmética es una sucesión en donde la diferencia entre términos sucesivos es siempre el mismo número.

Ejemplo La sucesión 3, 8, 13, 18, 23, . . . es una sucesión aritmética pues observe que la diferencia de términos consecutivos siempre es 5 8 – 3 = 5, 13 – 8 = 5, 18 – 13 = 5, 23 –18 = 5

Fórmula ¿Podemos hallar una fórmula para la sucesión aritmética anterior? La respuesta es sí. Es decir , queremos hallar una fórmula para la sucesión 3,8,13,18, 23,. . .

Fórmula Definición La fórmula de una sucesión aritmética está dada por sn = s1 + d(n-1) donde s1 es el primer término d es la diferencia entre los términos sucesivos n es la posición que ocupa el término. Si no se indica la posición se deja n.

Ejemplo Escriba la fórmula para la sucesión 3, 8, 13, 18, 23, . . Solución: sn = s1 + d(n-1) sn = 3 + 5(n-1) sn = 3 + 5n - 5 sn = 5n – 2 La fórmula es sn = 5n -2

Sucesión geométrica Definición Una sucesión geométrica es una sucesión donde la razón de los términos sucesivos es siempre el mismo número Ejemplo 3, 6, 12, 24, 48,. . . . Observe

Fórmula para sucesión geométrica Definición La fórmula para una sucesión geométrica está dada por sn = s1(r)n-1 donde s1 es el primer término de la sucesión r es la razón entre los términos de la sucesión n es la posición que ocupa el término.

Ejemplo Halle la fórmula para la sucesión 3, 6, 12, 24, 48,. . . Solución: sn = s1(r)n-1 = 3(2)n-1

Fin Recuerda hacer los ejercicios asignados del libro de texto.