Investigación #3 02. Septiembre. 16 Esteban Vázquez Renteria Código 16310416 Estática, Ingeniería Industrial, 1ºB t.m. Ceti Colomos, Guadalajara, Jalisco. Mtro. Cesar Octavio Martínez Padilla. 02. Septiembre. 16

Vectores La palabra vector hace referencia al segmento de una recta dirigido en el espacio. Un vector se comprende de los siguientes elementos: Punto de aplicación: es el punto de origen sobre el que actúa el vector. Módulo: se refiere al tamaño del vector. Para conocer el módulo se debe hallar el punto de aplicación y el extremo del vector. Dirección: es la orientación de la recta en la que se ubica el vector. La dirección puede ser vertical, horizontal y oblicua. Sentido: se determina a partir de la flecha ubicada en uno de los extremos del vector. La orientación puede ser horizontal hacia la izquierda o derecha, vertical hacia arriba o abajo, y por último, inclinada ascendente o descendente.

Vectores cartesianos Vectores unitarios cartesianos. En tres dimensiones, el conjunto de vectores unitarios cartesianos i, j, k, se usa para designar las direcciones de los ejes x, y, z, respectivamente. El sentido (o cabeza de la flecha) de estos vectores se representará analíticamente mediante un signo de más o menos, dependiendo de si están dirigidos a lo largo de los ejes x, y o z positivos o negativos. Vectores unitarios cartesianos positivos:

Representación de un vector cartesiano Representación de un vector cartesiano. Como las tres componentes de A actúan en las direcciones positivas i, j y k, podemos escribir A en forma de vector cartesiano como: A = Axi + Ayj + Azk Hay una clara ventaja al escribir los vectores de esta manera. Al separar la magnitud y la dirección de cada vector componente se simplificaran las operaciones de algebra vectorial, particularmente en tres dimensiones. Magnitud de un vector cartesiano. Siempre es posible obtener la magnitud de A si está expresado en forma de vector cartesiano. A partir del triangulo rectángulo azul, A = 𝐴𝑟2+𝐴2 𝑧 y del triangulo rectángulo sombreado, A’ = 𝐴𝑥2+𝐴2𝑦 . Al combinar estas ecuaciones para eliminar A’ se obtiene: A = 𝐴2𝑥+𝐴2𝑦+𝐴2𝑧 Por consiguiente, la magnitud de A es igual a la raíz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados de sus componentes.

R = A + B = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j + (Az + Bz)k Suma de vectores cartesianos: La suma (o resta) de dos o más vectores se simplifican considerablemente si los vectores se expresan en términos de sus componentes cartesianas. Por ejemplo, si A = Axi Ayj Azk y B = Bxi Byj Bzk, entonces el vector resultante, R, tiene componentes que represen- tan las sumas escalares de las componentes i, j, k de A y B, es decir, R = A + B = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j + (Az + Bz)k Si esto se generaliza y se aplica a un sistema de varias fuerzas concurrentes, entonces la fuerza resultante es la suma vectorial de todas las fuerzas presentes en el sistema y puede escribirse como: FR = ∑F = ∑Fxi + ∑Fyj + ∑Fzk Aquí́, ∑Fx, ∑Fy y ∑Fz representan las sumas algebraicas de las respectivas componentes x, y, z o bien i, j, k de cada fuerza presente en el sistema.

Notación vectorial cartesiana Notación vectorial cartesiana. También es posible representar las componentes x y y de una fuerza en términos de vectores unitarios cartesianos i y j. Cada uno de estos vectores unitarios tiene una magnitud adimensional de uno, y por lo tanto pueden usarse para designar las direcciones de los ejes x y y, respectivamente. Como la magnitud de cada componente de F es siempre una cantidad positiva, la cual está representada por los escalares (positivos) Fx y Fy, entonces podemos expresar F como un vector cartesiano. F = Fxi + Fyj

Vectores unitarios Son vectores de módulo uno. Si se quiere obtener un vector unitario con la misma dirección y sentido, a partir del vector dado, se debe dividir a este último por su módulo.

Un vector unitario puede emplearse para definir el sentido positivo de cualquier eje. Así, para los ejes cartesianos x, y, z se emplean los vectores i, j y k: La orientación de estos tres ejes cartesianos puede cambiarse, siempre y cuando su orientación relativa sea la misma.

Ángulos directores El ángulo que forma el vector con los ejes positivos X y Y del plano cartesiano. Están comprendidos entre 0o y 180o grados No existe convención para el giro de los ángulos directores. Los ángulos directores en el plano son: α es el que forma el vector con el eje positivo de las X β es el que forma el vector con el eje positivo de las Y

Vector de posición En Física, la posición, vector de posición o vector posición de un cuerpo respecto a un sistema de referencia se define como el vector que une el lugar ocupado por el cuerpo con el origen del sistema de referencia. Su expresión, en coordenadas cartesianas: r⃗ =xi⃗ +yj⃗ +zk⃗  Donde: r⃗ : Es el vector de posición. x, y, z : Son las coordenadas del vector de posición i⃗ ,j⃗ ,k⃗ :Son los vectores unitarios en las direcciones de los ejes OX, OY y OZ respectivamente

La unidad de medida de la posición en el Sistema Internacional es el metro [m]. Como todo vector, el vector posición en Física cuenta con módulo, dirección y sentido. El módulo del vector posición es la distancia que separa al cuerpo del origen del sistema de referencia. Para calcularlo es necesario: lr⃗l = 𝑥2+𝑦2+𝑧2 En el cual:

Producto escalar o producto junto. El producto escalar de dos vectores P y Q se define como el producto de las magnitudes de P y Q y el coseno del ángulo Ø formado por P y Q El producto escalar de P y Q se denota mediante P · Q. Entonces, se escribe: P · Q = PQ cosØ La expresión recién definida no es un vector sino un escalar, lo cual explica el nombre de producto escalar; en virtud de la notación utilizada, P · Q también se conoce como el producto punto de los vectores P y Q. A partir de su propia definición, se concluye que el producto escalar de dos vectores es conmutativo, esto es, que: P · Q = Q · P

Leyes de seno y coseno Consideramos el triangulo rectángulo ABC. Las llamadas funciones o razones trigonométricas de los ángulos agudos B y C son las siguientes: Seno. Es la razón entre cateto opuesto a la hipotenusa. Notación: Seno del ángulo B se escribe senB. sen 𝐵= 𝑏 𝑎 , o bien sen 𝐶 = 𝑐 𝑎 Coseno. Es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa. Coseno del ángulo B se escribe cos 𝐵 = 𝑐 𝑎 , o bien cos 𝐶 = 𝑏 𝑎 C a b B c A

Referencias Beer, F. Johnston, E. Mazurek, D. Eisenberg, E. (2010). Mecánica Vectorial para ingenieros. Estática. México: Mc Graw Hill. Hibbeler, R. C. (2010). Ingeniería Mecánica, Estática. México: Prentice Hall. Fuentes Guzmán, J. E. (2012). Estática. México: Red tercer milenio. Enciclopedia de Clasificaciones. (2016). Tipos de vectores. Recuperado de: http://www.tiposde.org/ciencias-exactas/91-tipos-de-vectores/ Martin Blas, T. Serrano Fernández, A. (-). Magnitudes y unidades. 03.09.16, de Universidad Politécnica de Madrid Sitio web: http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/magnitudes/ma gnitudes2.htm -. (-). Vector Posición. 03.09.16, de FisicaLab Sitio web: https://www.fisicalab.com/apartado/vector-posicion#contenidos