Matemáticas 2º Bachillerato C.S. INTEGRALES U.D. 10 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

INTEGRALES RACIONALES U.D. 10.3 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

4.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES P(x) Las funciones del tipo ------ cuando P(x) y Q(x) son polinomios Q(X) se llaman funciones racionales. Si el grado de P(x) es superior al de Q(x), divideremos P(x) entre Q(x) P(X) h. x + k Quedando ...  --------- dx =  E(x) dx +  ------------ dx Q(x) Q(x) donde  E(x) dx se resuelve por Descomposición de sumas de funciones potenciales. La segunda integral se resolverá dependiendo de las raíces de Q(x). Si Q(x) es de 2º grado, el numerador es h. x + k Si Q(x) es de 3º grado, el numerador sería una expresión cuadrática @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

INTEGRAL RACIONAL SIMPLE TIPOS DE F. RACIONALES INTEGRAL RACIONAL SIMPLE Caso 1: LAS RAÍCES DE Q(X) SON REALES Y DISTINTAS. h.x + k A B Siempre podremos hacer: ------------------- = --------- + ---------- 2 x - x1 x - x2 a.x + bx + c siendo x1 y x2 las raíces de Q(x). Realizando la suma de fracciones, en la igualdad consiguiente se nos van los denominadores al ser iguales. Identificando términos semejantes en los numeradores hallaremos el valor de A y el de B. Y por último... h.x + k A B ∫ ------------- dx = ∫ -------- dx + ∫ ---------- dx = A. ln (x-x1) + B .ln (x-x2) + C 2 x - x1 x - x2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

Matemáticas 2º Bachillerato C.S. EJERCICIOS Tipo 1 1.- Hallar la integral indefinida de la siguiente función: 1 f(x) = ---------- x2 - 4 1 A B ---------- = --------- + ---------  1 = A.(x – 2)+ B.(x+2) x2 - 4 x + 2 x – 2 1 = Ax+Bx – 2A+2B  A + B = 0 ,, 1 = 2B – 2A A=-B  1 = 2B – 2(-B) ,, 1 = 4B  B = ¼  A = - ¼ 1 - 1/4 1/4 ∫ ---------- dx = ∫ --------- dx + ∫ --------- dx = - ¼ .ln(x+2) + ¼ .ln (x – 2) + C x2 - 4 x + 2 x – 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

Matemáticas 2º Bachillerato C.S. EJERCICIOS Tipo 1 2.- Hallar la integral indefinida de la siguiente función: x f(x) = --------------- x2 – 3x – 4 x A B --------------- = --------- + ---------  x = A.(x – 4)+ B.(x+1) x2 – 3x – 4 x + 1 x – 4 x = Ax+Bx – 4A+B  A + B = 1 ,, 0 = B – 4A B = 4A  A + 4A = 1  5.A = 1  A = 1/5  B = 4/5 x 1/5 4/5 ∫ ---------------- dx = ∫ --------- dx + ∫ --------- dx = 1/5.ln(x+1) + 4/5.ln (x – 4) + C x2– 3x – 4 x + 1 x – 4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.