SERIES DE FOURIER UNIDAD V MATEMATICAS V

Contenido Condiciones de Geometría Funciones Periódicas Introducción a las Series de Fourier Condiciones de Geometría Funciones Periódicas Calculo de los Coeficientes de Fourier Calculo de Series de Fourier Forma Compleja de las Serie de Fourier

INTRODUCCION A LA SERIE DE FOURIER Es aquella que se puede escribir en términos de senos y cosenos. Una función periódica se puede definir como: Para todo valor de t. La constante T que satisface la relación se le llama periodo de la función:

Una vez determinada que la función es periódica la Serie de Fourier se define como: Donde: Son los coeficientes de Fourier. Estos se determinan con la solución de las siguientes integrales

Estos se determinan con la solución de las siguientes integrales Donde:

FUNCIONES PERIODICAS Como anteriormente se ha mencionado, una función periódicas se puede definir como una función para la cual: Para todo valor de t . La constante mínima T que satisface a la relación anterior se llama el periodo de la función. Y se obtiene:

Encontrar el periodo de la función Si la función f(t) es periódica con un periodo T, entonces, de (1.1) se tiene Puesto que cos (θ + 2πn) = cos (θ) para cualquier entero m se tiene que

En general, si la función: Donde m y n son enteros. Por consiguiente T=6πm=8πn; cuando m=4 y n=3, se obtiene el mínimo valor de T. En general, si la función: Es periódica con periodo T, entonces es posible encontrar dos enteros m y n tales que: El cociente de la relación anterior es: Es decir, la relación debe ser un numero racional.

Algunos Ejemplos Encontrar el periodo de la función f(t) = (10 cos t)² Si aplicamos la identidad trigonometrica se tiene Puesto que un a constante es una función periódica de periodo T para cualquier valor de T, y el periodo de cos 2t es π, se concluye que el periodo de f(t) es π.

CONDICIONES DE SIMETRIA Funciones pares e impares Antes de calcular las series de Fourier se deben tener en cuenta las siguientes condiciones de simetría: Funciones pares e impares Par. Es aquella función que tiene simetría respecto al eje vertical Alguna de sus propiedades son:

Ejemplos de funciones pares son:

Impar. Son simétricas respecto al origen

Integración de funciones pares e impares Para una función par Ejemplo:

Para una función impar: Todas las funciones se pueden representar como la suma de una función par mas una impar.

Demostración

Ejemplo: Encontrar los componentes de la siguiente función: Nota: Se sustituye –t en t .

Simetría de Media Onda: Otras de las condiciones de simetría son: Simetría de Media Onda: Si f(t) es periódica: Tendrá un asimetría de media onda si cumple lo siguiente: Interpretación geométrica

Simetría de Cuarto de Onda Si f(t) es periódica , tendrá simetría de cuarto de onda, si y solo si, cumple: Tiene simetría de media onda Que sea par o impar

CALCULO DE LOS COHEFICIENTES DE FOURIER A partir de las condiciones de simetría y la introducciones a las serie de Fourier se hará mas fácil calcular lo Coeficientes de Fourier a partir de la tabla que se formulara a partir de las siguientes condiciones.

Para una función Par La condición para un a función par como se veía en uno de lo temas anteriores es Y la Serie de Fourier se define como El segundo coeficiente de la serie de Fourier es impar por lo tanto vale 0. y la Forma de la Serie de Fourier se reduce a:

De tal forma que si es par el coeficiente se calculara Ya que la integración de una función par es dos veces la integral definida de 0 a limite superior

Para una función Impar Aquí la condición es Por lo tanto los primeros dos coeficientes de Fourier, como son funciones pares , valen 0, por lo tanto se deduce de la Serie de Fourier para una función impar es: El coeficiente de Fourier se calcula mediante la forma:

Para una función con simetría de media onda La condición para la cual una función se considera una función con simetría de media onda es El calculo de los coeficientes de Fourier suponiendo una simetría de media onda:

Haciendo Cambio de Variable en la primera integral Cambiando lo limites sustituyendo el valor de t

Utilizando el hecho que

Existe la propiedad

Por lo tanto solo tendrá armónicos (an,bn) impares De esta comprobación se deduce Por lo tanto solo tendrá armónicos (an,bn) impares

FORMA DE LA SERIE DE FOURIER FORM DE LOS COHEFICIENTES DE FOURIER TIPO DE SIMETRIA CONDICION FORMA DE LA SERIE DE FOURIER FORM DE LOS COHEFICIENTES DE FOURIER Par Impar De Media Onda ¼ de Onda Par 174 de Onda Impar

CALCULO DE SERIES DE FOURIER Para el calculo de Series de Fourier se determinaran los siguientes pasos: Determinar la simetría Se determina la forma de lo coeficientes y la Serie de Fourier según la tabla. Calcular los coeficientes. La ecuación o ecuaciones de recurrencia Se calcula los coeficientes Se escribe la Serie de Fourier

Calcular la Serie de Fourier de la siguiente Función Tipo de Simetría

La onda tiene una simetría de cuarto de onda par. Los coeficientes tiene un solo armónico impar

n a(2n-1) 1 2 3 4 5 6

Por lo tanto la Serie de Fourier :

Calcular la Serie de Fourier de la siguiente función Si se desplaza la grafica en el eje vertical

La función f(t) Simetría impar Simetría de media onda Si

Por lo tanto Resolviendo la segunda integral

Sustituyendo en el valor de bn Aplicando limites

FORMA COMPLEJA DE LAS SERIES DE FOURIER Sea f(t) una función periódica cuya Serie de Fourier es identidades de Euler

Aplicando las identidades de Euler en la Serie de Fourier Donde los coeficiente complejos de Fourier son:

Simplificación de la Serie compleja de Fourier Calculando a Co

Calculando a Cn

Calcular la Serie Compleja de Fourier de la siguiente función

Por lo tanto

Integrando por partes

La Serie compleja de Fourier para f(t)