Matemáticas 2º Bachillerato C. T. MÉTRICA DEL ESPACIO U.D. 11 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

SIMETRÍAS EN EL ESPACIO U.D. 11.5 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

SIMETRÍA RESPECTO A RECTA SIMETRÍAS. Simétrico de un punto A respecto a una recta: Hallamos el plano perpendicular a r por A Hallamos el punto M de corte de la recta con el plano. Hallamos A' con la condición de que M sea el punto medio del segmento AA'. r A’ M A @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

Matemáticas 2º Bachillerato C. T. EJEMPLO 1 Hallar el simétrico del punto A(1, 2, 3) respecto a la recta r:(P, v), siendo P(0, -2 , 5) y v(1, 0, -1). Hallamos el plano perpendicular a r por A El vector director del plano (N) es el vector director de la recta perpendicular al mismo. π:(Ax+By+Cz+D=0) π:(x – z+D=0) Como A pertenece a π: 1 – 3 +D =0  D = 2 π:(x – z + 2 = 0) r A’ M A @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

Matemáticas 2º Bachillerato C. T. ... EJEMPLO 1 Tenemos el plano: π:(x – z + 2 = 0) Hallamos el punto M de corte de la recta con el plano. π: x – z + 2 = 0 r: (x,y,z)=(0, -2 , 5)+λ.(1, 0, -1) x= λ , y = -2 , z = 5 – λ λ – 5 + λ + 2 = 0  λ = 1,5 x= 1,5 , y= -2 , z = 3,5 El punto de corte de la recta y el plano, que es el punto medio M, es: M(1’5, -2, 3’5) r A’ M A @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

Matemáticas 2º Bachillerato C. T. ... EJEMPLO 1 Tenemos el punto A(1, 2, 3) y el punto medio M(1’5, -2, 3’5). Hallamos el punto simétrico de A, A’, teniendo el punto medio M. Mx=(Ax+A’x)/2 2.Mx=Ax+A’x A’x=2.Mx – Ax = 2.1’5 – 1 = 2 My=(Ay+A’y)/2 2.My=Ay+A’y A’y = 2.My – A’y = 2.(-2) – 2 = - 6 Mz=(Az+A’z)/2 2.Mz = Az+A’z A’z = 2.Mz – A’z = 2.3’5 – 3 = 4 El simétrico es: A’(2, -6, 4) r A’ M A @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

SIMETRÍA RESPECTO A PLANO SIMETRÍAS. Simétrico de un punto respecto a un plano: Hallar la recta r perpendicular al plano por A. Hallar el punto M de corte de r con el plano Hallar A' con la condición de que M es el punto medio del segmento AA'. r A’ M A @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

Matemáticas 2º Bachillerato C. T. EJEMPLO 2 Hallar el punto simétrico de A(1, 2, 3) respecto al plano π:(2x – 3y + z – 7 = 0) Hallar la recta r perpendicular al plano por A. Al ser la recta perpendicular al plano, su vector director, v, es el vector normal del plano: v(2, -3, 1) Al pasar por el punto A, la ecuación de la recta es: (x,y,z)=(1,2,3) + λ.(2, -3, 1) r A’ M A @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

Matemáticas 2º Bachillerato C. T. ... EJEMPLO 2 Tenemos el plano: π:(2x – 3y + z – 7 = 0) Y la recta: (x,y,z)=(1,2,3) + λ.(2, -3, 1) Hallar el punto M de corte de la recta con el plano. De la recta: x=1+2.λ , y = 2 – 3.λ , z = 3+λ Sustituimos en el plano: 2.(1+2.λ) – 3.(2 – 3.λ)+(3+λ) – 7 = 0 2+4.λ – 6 +9.λ+3+λ – 7 = 0 14.λ – 8 = 0  λ = 4/7 x=15/7 ,, y = 2/7 ,, z = 25/7 r A’ M A @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

Matemáticas 2º Bachillerato C. T. ... EJEMPLO 2 Tenemos el punto A(1, 2, 3) y el punto medio M(15/7, 2/7 , 25/7) Hallar A' con la condición de que M es el punto medio del segmento AA'. Mx=(Ax+A’x)/2 2.Mx=Ax+A’x A’x=2.Mx – Ax = 2.15/7 – 1 = 23/7 My=(Ay+A’y)/2 2.My=Ay+A’y A’y = 2.My – A’y = 2.2/7 – 2 = - 10/7 Mz=(Az+A’z)/2 2.Mz = Az+A’z A’z = 2.Mz – A’z = 2.25/7 – 3 = 29/7 El simétrico es: A’(23/7, -10/7, 29/7) r A’ M A @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

Matemáticas 2º Bachillerato C. T. EJEMPLO 3 Hallar el punto simétrico de A(3, 2, 1) respecto al plano π:(x + y + z + 21 = 0) Hallar la recta r perpendicular al plano por A. Al ser la recta perpendicular al plano, su vector director, v, es el vector normal del plano: v(1, 1, 1) Al pasar por el punto A, la ecuación de la recta es: (x,y,z)=(3,2,1) + λ.(1, 1, 1) r A’ M A @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

Matemáticas 2º Bachillerato C. T. ... EJEMPLO 2 Tenemos el plano: π:(x + y + z + 21 = 0) Y la recta: (x,y,z)=(3,2,1) + λ.(1, 1, 1) Hallar el punto M de corte de la recta con el plano. De la recta: x=3+λ , y = 2 +λ , z = 1+λ Sustituimos en el plano: (3+λ) +(2 +λ)+(1+λ) + 21 = 0 3+λ + 2+λ+1+λ + 21= 0 3.λ + 27 = 0  λ = – 9 x= – 6 ,, y = – 7 ,, z = – 8 r A’ M A @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

Matemáticas 2º Bachillerato C. T. ... EJEMPLO 2 Tenemos el punto A(3, 2, 1) y el punto medio M(– 6, – 7, – 8) Hallar A' con la condición de que M es el punto medio del segmento AA'. Mx=(Ax+A’x)/2 2.Mx=Ax+A’x A’x=2.Mx – Ax = 2.(– 6) – 3 = – 15 My=(Ay+A’y)/2 2.My=Ay+A’y A’y = 2.My – A’y = 2.(– 7) – 2 = – 16 Mz=(Az+A’z)/2 2.Mz = Az+A’z A’z = 2.Mz – A’z = 2.(– 8) – 1 = – 17 El simétrico es: A’(– 15, – 16 , – 17) r A’ M A @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.