LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

Definición intuitiva de límite. Consideremos la función El dominio es Df = R - {1} Evalúa la función en los números dados y explica el comportamiento. X 0.5 0.8 0.9 0.99 0.999 0.9999 y 0.75 1.44 1.71 1.9701 1.9970 1.9997 X 2 1.5 1.2 1.1 1.01 1.001 1.0001 y 6 3.75 2.64 2.31 2.0301 2.0030 2.0003

En el primer cuadro, ¿a qué número se aproxima x? En el mismo cuadro, ¿a qué valor se aproxima y? Es decir, cuando x se aproxima lo más cercano posible a 1 por la izquierda, el valor de y tiende a 2. En el segundo cuadro, ¿a qué número se aproxima x? En el segundo cuadro, ¿a qué número se aproxima y? Es decir, cuando x se aproxima lo más cercano posible a 1 por la derecha, el valor de y tiende a 2. ¿Crees que si aproximamos todavía más los valores de x al valor dado, los valores de y se aproximen más al valor observado?

Concepto de límite SI f(x) SE ACERCA ARBITRARIAMENTE A UN NÚMERO L, CONFORME x SE APROXIMA A UN NÚMERO a TANTO POR LA IZQUIERDA COMO POR LA DERECHA, ENTONCES “EL LÍMITE DE f(x) CUANDO x TIENDE A a ES L”, LO CUAL SE DENOTA COMO:

Ejemplo: Sea la función Hallar X 2 y Por lo tanto 1.8 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1 2.2 y 3.9493 3.9748 3.9975 3.9997 4.0002 4.0025 4.0248 4.0493

o

DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.

Se quiere fabricar placas de acero de 8cm x 8cm. Es decir, de 64 cm2 de superficie. En la realidad, resulta imposible fabricar placas con 64 cm2 de superficie, siempre se elabora con cierta aproximación, o sea, que cumpla las especificaciones dentro de la tolerancia.

Para cualquier medida de los lados de la placa: A (L) = L2 Si consideramos las siguientes tolerancias: A (L) = 64 ±0.75 esto implica que 63.25< A (L) <64.75 A (L) = 64 ±0.50 63.5 < A (L) <64.5 A (L) = 64 ±0.25 63.75< A (L) <64.25 A (L) = 64 ±0.125 63.875< A (L) <64.125 A (L) = 64 ±0.1 63.9< A (L) <64.1 Se debe encontrar un intervalo para L de tal manera que A ( L) esté dentro del intervalo de tolerancia. Tolerancia de menos Tolerancia de más Tolerancia de menos Tolerancia de más L L A(L) A(L) 8 64

Por la definición intuitiva de límite: Es decir: Si 7.96 < L < 8.04 → 63.25 < A (L) <64.75 ¡cumple! Si 7.97 < L < 8.03 → 63.5 < A (L) <64.5 ¡cumple! Si 7.99 < L < 8.01 → 63.75 < A (L) <64.25 ¡cumple! Si se quiere más precisión de A (L), significa que L debe estar lo más cercano posible a 8. O sea, existe una pequeña diferencia de A (L) con 64, análogamente, existe también una pequeña diferencia de L con 8. Por la definición intuitiva de límite:

– δ < L - 8 < δ ↔ - ε < A (L) - 64 < ε Si esas pequeñas diferencias que existen de L con 8 y de A (L) con 64 les llamamos δ(delta) y ε(épsilon) respectivamente, tendríamos: 8 – δ < L< 8 + δ ↔ 64 - ε < A (L) < 64 + ε ↔ Significa si y sólo si. También se puede escribir como: – δ < L - 8 < δ ↔ - ε < A (L) - 64 < ε Lo anterior quiere decir que si L se encuentra en el intervalo (8- δ, 8+ δ), entonces A (L) se encuentra en el intervalo abierto (64- ε, 64+ ε)

– δ < L - 8 < δ ↔ - ε < A (L) - 64 < ε x f (x) a – δ a + δ L – ε L + ε Por propiedades del valor absoluto, las desigualdades: – δ < L - 8 < δ ↔ - ε < A (L) - 64 < ε Se pueden escribir como: Como el valor de L se aproxima a 8 sin llegar a ser 8, entonces L – 8 ≠ 0 y por lo tanto

De lo anterior: Ahora, generalizando para cualquier función f (x) cuando x → a, tenemos:

Definición formal de límite. Consideremos un intervalo abierto que contenga al número a. Sea f una función definida en todos los números del intervalo excepto posiblemente en a y sea L un número real. Entonces: Significa que para todo ε > 0 existe una δ > 0 tal que: Si 0 < | x – a | < δ, entonces | f (x) – L | < ε

Interpretación geométrica: L + ε ε L ε L - ε δ δ a a - δ a - δ

1. Sea la función f definida por f (x) = 4x – 7. Suponiendo que Ejemplo: 1. Sea la función f definida por f (x) = 4x – 7. Suponiendo que a) Utilizando una figura, para ε = 0.01, determinar una δ > 0 tal que si 0 < | x – 3 | < δ entonces | f (x) – 5 | < 0.01 b) Usando las propiedades de las desigualdades, determinar una δ > 0 tal que si 0 < | x – 3 | < δ entonces | f (x) – 5 | < 0.01 Solución: f (x) =4 x - 7 5.01 5 4.99 3 x1 x2

Solución a) 4 x1 - 7 = 4.99 4 x2 – 7 = 5.01 Como 3 – 2.9975 = 0.0025 Y 3.0025 – 3 = 0.0025 Se elige δ = 0.0025, de tal forma que 0 < | x-3| < 0.0025 entonces | f (x) – 5 | < 0.01 Lo cual es verdadero.

Solución b) Para toda ε > 0 y δ > 0, se debe cumplir que: Donde a = 3, L = 5 y f (x) = 4 x – 7, ε = 0.01 Entonces: 0 < | x - 3 | < δ si y sólo si | (4x – 7) - 5 | < 0.01 Tomando la segunda ecuación: | (4x – 7) - 5 | < 0.01 | 4x – 7 - 5 | < 0.01 | 4x – 12 | < 0.01 | 4 (x – 3 ) | < 0.01 | 4 | | x – 3 | < 0.01 4 | x – 3 | < 0.01

Si tomamos entonces: 0 < |x - 3 | < δ si y solamente si | (4x – 7) - 3 | < ε es verdadero! Puesto que: 0 < | x - 3 | < 0.0025 4 | x - 3 | < 4 ( 0.0025 ) | 4 (x – 3) | < 0.01 | 4x - 12 | < 0.01 | ( 4x – 7) - 5 | < 0.01 | f (x) - 5 | < 0.01 QUEDA DEMOSTRADO!