Aplicaciones de la derivada La derivada en el análisis de funciones Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Habilidades Describe el comportamiento de una función a partir de su primera derivada. Explica el concepto de concavidad de una gráfica. Explica el concepto de punto de inflexión. Traza la gráfica, analizando todos los elementos. Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Funciones crecientes y decrecientes Función creciente en un intervalo I: Función decreciente en un intervalo I: f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2 f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2 y x x2 x1 f(x1) f(x2) y x x2 x1 f(x1) f(x2) Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Prueba creciente - decreciente Si para toda entonces f es creciente en I Si para toda entonces f es decreciente en I Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ejemplo Determinar en dónde es creciente y en dónde es decreciente la función:

Prueba de la primera derivada Sea f continua y c un punto crítico de f cambia de f tiene máximo local en c + a - cambia de f tiene mínimo local en c - a + mantiene el signo f no tiene extremo local en c y x c y x c y x c y x c

Concavidad de la gráfica de una función Si la gráfica de f está por encima de sus rectas tangentes en un intervalo I, entonces se dice que la gráfica es cóncava hacia arriba en ese intervalo Si la gráfica de f está por debajo de sus rectas tangentes en un intervalo I, entonces se dice que la gráfica es cóncava hacia abajo en ese intervalo

Prueba de concavidad y Si para toda entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en I x y x Si para toda entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en I

Punto de inflexión Un punto P de una curva se llama punto de inflexión si se cumplen las tres condiciones siguientes: La curva es continua en P 1 La curva posee recta tangente en P 2 La curva cambia de concavidad a ambos lados de P. 3 P y x y x P y x P P y x

Prueba de la segunda derivada Sea f ” continua en una vecindad de c. Si y Si y entonces f tiene un máximo local en c ) ( = ¢ c f entonces f tiene un mínimo local en c y x c y x c

Ejemplo Trace al gráfica de la función:

Ejemplo Trace al gráfica de la función:

Ejemplo Trace al gráfica de la función:

Bibliografía “Cálculo de una variable” Cuarta edición James Stewart Ejercicios 4.3 pág 302: 2, 6, 14, 18, 20, 26, 28, 40, 42, 44, 46, 48.