Unidad 4. Capítulo VIII. Ecuaciones no homogéneas.

U-4. Cap. VIII. Ecuaciones no homogéneas. Las ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden tienen la forma: en donde p(x), q(x) y r(x) se suponen continuas en un cierto intervalo. Al hacer r(x) = 0 se obtiene la llamada ecuación homogénea asociada: La solución de una ecuación no homogénea está ligada estrechamente con la de su ecuación homogénea asociada.

¡la ecuación homogénea asociada! U-4. Cap. VIII. Ecuaciones no homogéneas. Suponga que existen dos funciones f1(x) y f2(x) que son solución de la ecuación lineal no homogénea: así que: Al sustituir la diferencia f = f1 – f2 en la ecuación no homogénea se tiene: ¡la ecuación homogénea asociada!

Es necesario señalar que la solución particular (yp) no es única. U-4. Cap. VIII. Ecuaciones no homogéneas. Defina f como la solución complementaria u homogénea (yc) y f2 una solución particular (yp), entonces la solución general (y) de la ecuación no homogénea: es la función f1: donde: y: Es necesario señalar que la solución particular (yp) no es única.

U-4. Cap. VIII. Ecuaciones no homogéneas. De manera que, la solución general de una ecuación lineal no homogénea es: donde y1 y y2 son un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada, y C1 y C2 son constantes arbitrarias. Prueba: Determine la primera y segunda derivadas de la solución y sustitúyalas en la ecuación no homogénea:

y1 y y2 son solución de la ecuación homogénea asociada, por lo que: U-4. Cap. VIII. Ecuaciones no homogéneas. ordenando se tiene: y1 y y2 son solución de la ecuación homogénea asociada, por lo que:  Por tanto, una vez que se dispone de la solución general de la ecuación homogénea asociada, solamente se requiere determinar una solución particular yp que satisfaga la ecuación no homogénea, para obtener la solución general.

cuya solución general se determinó anteriormente. U-4. Cap. VIII. Ecuaciones no homogéneas. Ejemplo: Determine la solución general de la siguiente ecuación diferencial lineal no homogénea de 2° orden con coeficientes constantes: Solución: y = yc + yp; en donde yc es la solución de la ecuación homogénea asociada: cuya solución general se determinó anteriormente. Ahora se requiere encontrar una solución particular yp que satisfaga la ecuación no homogénea original:

así, la solución general de la ecuación no homogénea dada resulta: U-4. Cap. VIII. Ecuaciones no homogéneas. Por inspección se observa que una función que satisface esta ecuación es y = 5, por lo tanto, así, la solución general de la ecuación no homogénea dada resulta: donde C1 y C2 son constantes arbitrarias. Se puede demostrar, por sustitución directa, que esta solución satisface la ecuación diferencial dada. 

U-4. Cap. VIII. Ecuaciones no homogéneas. Para evitar confusiones, se debe señalar que una solución particular no es única. Existen muchas soluciones que satisfacen la ecuación no homogénea y cualquiera de ellas puede ser una solución particular, ya que una combinación lineal de cualquier par de soluciones también es una solución, por ejemplo: Una elección diferente para yp no debe afectar la solución general, en virtud de que las funciones que incluyen cualquier solución de la ecuación homogénea asociada pueden combinarse con la solución complementaria.

Principio de superposición para soluciones particulares. U-4. Cap. VIII. Ecuaciones no homogéneas. El término no homogéneo r(x) incluye frecuentemente varias funciones, por lo que resulta más sencillo encontrar una yp para cada una de ellas, y luego sumarlas (principio de superposición). Principio de superposición para soluciones particulares. Si yp1 es una solución particular de: y yp2 es una solución particular de: entonces yp = yp1 + yp2 es una solución particular de:

y que yp2 = 2x + 3 es una solución particular de: U-4. Cap. VIII. Ecuaciones no homogéneas. Ejemplo: Se sabe que yp1 = 5 es una solución particular de la ecuación diferencial: y que yp2 = 2x + 3 es una solución particular de: Demuestre que yp = yp1 + yp2 = 2x + 8 es una solución particular de: Solución: Este resultado se obtiene al aplicar el principio de superposición de una solución particular. Prueba:

Al sustituir éstas en la ecuación diferencial se tiene: U-4. Cap. VIII. Ecuaciones no homogéneas. Al sustituir éstas en la ecuación diferencial se tiene:  entonces yp satisface la ecuación. Note que la expresión solución particular se ha asignado también a una solución específica de una ecuación que satisface una condición inicial o de frontera. Sin embargo, es el contexto el que clarifica su uso.