SISTEMAS U. D. 5 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

PROBLEMAS DE SISTEMAS U. D. 5.6 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

PROBLEMAS DE SISTEMAS Hay que seguir los siguientes pasos: 1.- COMPRENSIÓN.- Leer detenidamente y entender el enunciado. Si se ha entendido bien, se podrá intuir el número de incógnitas que necesitamos. 2.- DESIGNAR.- Las incógnitas no son siempre los datos que se pide, sino los datos desconocidos que permita resolver el problema. PLANTEAR.- Una vez designadas las incógnitas, se traduce a lenguaje algebraico el enunciado, resultando varias ecuaciones. Para poder resolver el sistema necesitamos, como mínimo, tantas ecuaciones como incógnitas. 3.- RESOLUCIÓN.- Aplicando cualquiera de los tres Métodos vistos. 4.- COMPROBACIÓN.- Se comprueba si la solución cumple las condiciones del enunciado. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

PROBLEMA 13 Si encima de cada almendro anida una golondrina, hay siempre una golondrina que se queda sin almendro. Pero, cuando en cada almendro anidan dos golondrinas, en uno de los almendros no hay ninguna golondrina. ¿Cuántas golondrinas y almendros hay?. RESOLUCIÓN Sea x = el número de almendros. Sea y = el número de golondrinas. Tenemos: x = y – 1 y = 2.(x – 1) Sustituyendo: x = 2.(x – 1) – 1 Operando: x = 2.x – 2 – 1  3 = x  x = 3 almendros y = 2.(x – 1) = 2.(3 – 1) = 2.2 = 4  y = 4 golondrinas. Que se puede comprobar que cumple el enunciado. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

PROBLEMA 14 Varias personas viajan en un coche que han alquilado por 414 €. Pero se les agregan 3 personas más, lo que hace disminuir en 23 € lo que debía pagar antes cada persona. ¿Cuántas personas iban al principio en el coche?. RESOLUCIÓN Sea x = número de personas apuntadas inicialmente. Sea y = la cantidad de dinero a pagar inicialmente cada persona. Tenemos: x.y = 414 (x + 3).(y – 23) = 414 Despejando en la primera: y = 414 / x Sustituyendo en la segunda: (x + 3).(414 / x – 23) = 414 Operando: 414 – 23.x + 1242 / x – 69 = 414 415.x – 23.x2 + 1242 – 69.x = 415.x  23.x2 + 69.x – 1242 = 0 Resolviendo la ecuación: x = 6 personas inicialmente, x = – 9 no vale. El valor negativo de x no vale por la naturaleza del enunciado. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

PROBLEMA 15 En una ventana cuadrada hemos sustituido un lado por una semicircunferencia. En total hemos tenemos 4 metros de marco. Hallar el lado del cuadrado original. RESOLUCIÓN Sea x = lado de la ventana cuadrada. Sea r = radio de la semicircunferencia. Tenemos: 2.r = x 4 = 3,1416.r + 3.x Despejando r en la primera: r = x / 2 Sustituyendo en la segunda: 4 = 3,1416.(x / 2) + 3.x Operando: 8 = 3,1416.x + 6.x 8 = 9,1416.x x = 8 / 9,1416 = 0,8751 m r 2.r x x x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

PROBLEMA 16 El producto de tres números impares consecutivos es 1.287. Hallarlos. RESOLUCIÓN Sea n = un número entero. Sea 2.n = un número par. Sea x = 2.n – 1 = un número impar. Sea y = 2.n + 1 = un número impar consecutivo. Sea z = 2.n + 3 = un número impar consecutivo. Tengo: x.y.z = 1287 Sustituyendo: (2.n – 1).(2.n + 1).(2.n + 3 ) = 1287 Operando: (4.n2 – 1).(2.n + 3) = 1287  8.n3 + 12.n2 – 2.n – 3 = 1287 8.n3 + 12.n2 – 2.n – 1290 = 0  4.n3 + 6.n2 – n – 645 = 0 Hallando las raíces del polinomio: n = 5 (La única real y válida.) Los números son: x = 2.5 – 1 = 9 , y = 2.5 + 1 = 11 , z = 2.5 + 3 = 13 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

PROBLEMA 17 Un depósito tiene tres tubos de abastecimiento. El primero tarda 3 horas menos que el segundo en llenarlo por sí solo; mientras el tercero tarda 3 horas más que el segundo en llenarlo por sí solo. Juntos tardan 36/13 horas en llenar el depósito. ¿Cuánto tiempo tarda cada uno en llenar el depósito por separado?. RESOLUCIÓN Sea x = lo que tarda el segundo en llenar el depósito por separado. Sea y = x – 3 lo que tarda el primero en llenar el depósito por separado. Sea z = x + 3 lo que tarda el tercero en llenar el depósito por separado. Tengo, actuando los tres tubos a la vez: 1 / (x – 3) + 1 / x + 1 / (x + 3) = 13 / 36 Haciendo común denominador: [x.(x + 3) + (x – 3).(x + 3) + x.(x – 3)] / (x – 3).x.(x + 3 ) = 13 / 36 0perando: 36.(x2 + 3.x + x2 – 9 + x2 – 3.x ) = 13.(x3 – 9.x) Simplificando el polinomio resultante: 13.x3 – 108.x2 – 117.x + 324 = 0 Hallando las raíces del polinomio: x = 6 (La única real y válida.) Luego y = 3 horas, z = 9 horas. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.