Apuntes de Matemáticas 3º ESO U.D. 3 * 3º ESO E.AC. PROPORCIONALIDAD @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO U.D. 3.7 * 3º ESO E.AC. INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Interés simple El dinero depositado en un banco se llama CAPITAL. La cantidad de dinero que paga el banco por el capital depositado se llama INTERÉS. El dinero que paga el banco al año por cada 100 € depositados se llama TIPO DE INTERÉS o RÉDITO El interés es DIRECTAMENTE PROPORCIONAL al capital, al rédito y al tiempo. C . r . t C . r . t C . r . t i = ------------- ; i = ------------; i = ------------ , según se mida 100 1200 36000 el tiempo en años, meses o días. O sea Interés = C.r.t ,, Capital final = C + C.r.t @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Interés simple Los intereses que nos da una entidad por nuestros ahorros es: i = C.(r/100).t Al finalizar el tiempo tendremos: Capital final = Capital inicial + i Cf = C + i Cf = C + C.(r/100).t Sacando C como factor común: Cf = C.[1 + (r/100).t] El término 1+(r/100).t es el índice de variación. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo_1 Un grupo de estudiantes tiene 5.000 € para un viaje fin de estudios a realizar dentro de dos años, dos meses y 20 dias. Un banco les ofrece un interés nominal anual del 3%. ¿Qué dinero adicional obtendrían si lo colocan a 2 años? ¿Y si lo colocan a 26 meses? ¿Y si lo colocan a 800 días? C . r . t 5.000.3.2 i = ------------- = ---------------- = 300 € 100 100 C . r . t 5.000.3.26 i = ------------- = ---------------- = 325 € 1200 1200 C . r . t 5.000.3.800 i = ------------- = ------------------- = 367 € 36000 36000 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo_2 ¿Qué rédito me debe ofrecer un banco si deseo que al cabo de 20 meses un capital de 5000 € se me convierta en 6000 €? Quiero que 5000 + i = 6000 Luego debo conseguir unos intereses de 1000 €. C . r . t 5.000. r. 20 i = ------------- ; 1000 = ---------------- ; 1200 1200 Resolviendo la ecuación: 1200000 = 100.000. r  r = 1200000 / 100000 = 12 El tipo de interés debe ser del 12%. Nota: Un rédito tan alto es impensable conseguirlo actualmente. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo_3 ¿Qué tiempo debo tener invertido un capital para que con un tipo de interés del 4% pueda triplicar dicho capital inicial? Quiero que C + i = 3.C Luego debo conseguir unos intereses de 2.C. i = C . r . t / 100; 2.C = C.0,04.t Resolviendo la ecuación: 2 = 0,04.t  t = 2 / 0,04 = 50 Debo depositarlo durante 50 años para que se triplique. Otra forma de resolverlo: Cf = C.[1 + (r/100).t] 3.C =C.[1+(4/100).t]  3.C = C + C.0,04.t  2.C =C.0,04.t Nota: Si en lugar de interés simple lo invertimos a interés compuesto se tardaría menos tiempo en triplicar. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Interés compuesto En el interés compuesto, tras cada periodo de tiempo ( años, meses o días), el interés producido se suma al capital. En el primer año: Capital final = C + C.r/100 = C.(1+ r/100) En el segundo año: Capital final = (C + C.r/100) + (C + C.r/100).r/100 Sacando factor común a (C+C.r/100) Capital final = (C + C.r/100).(1+r/100) = C.(1+r/100).(1+r/100) = C.(1+r/100)2 En el tercer año: Capital final = C.(1+r/100)2 + C.(1+r/100)2 .r/100 Sacando factor común a C.(1+r/100)2 Capital final = C.(1+r/100)2.(1+ r/100) = C.(1+ r/100)3 Al cabo de t años tendremos: Capital final = C.(1+ r/100)t @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Si en lugar de años (t) , los intereses se abonan cada dos o tres meses, o incluso mensualmente, entonces el llamado periodo de capitalización será menor al año. Si r es el interés anual que nos ofrece el banco, r / 12 será el interés mensual. En un mes tendremos unos intereses de: i= C. (r / 100) / 12 = C.r / 1200 Capital final = C + C.r / 1200 = C.(1+ r /1200) Al cabo de m meses tendremos: Capital final = C.(1+ r/1200)m Si por características especiales los intereses se abonan en días, tendremos: Si r es el interés anual que nos ofrece el banco, r / 360 será el interés diario. En un día tendremos unos intereses de: i= C. (r / 100) / 360 = C.r / 36000 Capital final = C + C.r / 36000 = C.(1+ r /36000) Al cabo de n días tendremos : Capital final = C.(1+ r/36000)n @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Interés compuesto En el interés compuesto, tras cada periodo de tiempo ( años, meses o días), el interés producido se suma al capital. Al cabo de t años tendremos: Capital final = C.(1+ r/100)t Al cabo de m meses tendremos: Capital final = C.(1+ r/1200)m Al cabo de n días tendremos : Capital final = C.(1+ r/36000)n Donde (1+r/100), (1+r/1200) y (1+r/36000) son los índices de variación del capital cedido, lo que varía de año en año, de mes en mes o de día a día. Ejemplo: Un banco nos ofrece un interés anual del 2%. Hallar el índice de variación del capital aportado año en año, de mes en mes y de día a día. Iv anual = 1+ 2/100 = 1,02 Iv mensual = 1+ 2/1200 = 1,00167 Iv diario = 1+ 2/36000 = 1,0000555 Al emplearlo durante varios años, meses o días, como el índice es el mismo, al multiplicarse entre sí dan lugar a los exponentes de las fórmulas. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Interés compuesto Ejemplo ampliado: Un banco nos ofrece un interés (compuesto) anual del 2%. Si depositamos en él 10.000 €, hallar lo que obtendríamos al cabo de: a) 50 años b) 50 meses c) 50 días Indice de variación del capital aportado: Iv anual = 1+ 2/100 = 1,02 Iv mensual = 1+ 2/1200 = 1,00167 Iv diario = 1+ 2/36000 = 1,0000555 Al emplearlo durante varios años, meses o días, como el índice es el mismo, al multiplicarse entre sí dan lugar a los exponentes de las fórmulas. Cf = Co. (Iv a)t = 10.000· (1,020000)50 = 10.000 · 2,691588 = 26.916 € Cf = Co. (Iv m)m = 10.000· (1,001667)50 = 10.000 · 1,086828 = 10.868 € Cf = Co. (Iv d)d = 10.000· (1,000055)50 = 10.000 · 1,002781 = 10.028 € @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 1 Deposito en un banco 5.000 € a un interés (compuesto) del 5%. ¿Cuál será el capital al cabo de 10 años?. En el primer año: Capital final = 5000 + 5000.0,05 = 5000.1,05 = 5250 En el segundo año: Capital final = 5000.1,05 + 5000.1,05.0,05 = 5000.(1,05+0,0525) = 5000.1,1025 = 5512,5 En el tercer año: Capital final = 5000.1,1025 + 5000.1,1025.0,05 = 5000.(1,1025+0,055125) = 5000.1,157625 = 5688,025 Y así hasta el 10º año. Utilizando la fórmula, al cabo de 10 años tendremos: Capital final = C.(1+r)t Capital final = 5000.(1+0,05)10 = 8.144,47 € @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 2 Deposito en un banco 10.000 € a un interés anual (compuesto) del 4%. ¿Cuál será el capital al cabo de 10 años?. Utilizando la fórmula, al cabo de 10 años tendremos: Capital final = C.(1+r/100)t Capital final = 10000.(1+0,04)10 = 14.802,5 € Ejemplo 3 Deposito en un banco 10.000 € a un interés anual (compuesto) del 3%. ¿Cuál será el capital al cabo de 20 meses?. Utilizando la fórmula, al cabo de 20 meses tendremos: Capital final = C.(1+r/1200)m Capital final = 10000.(1+0,04/12)20 = 10000.(1+0,003334)20 = = 10.688,34 € @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO