Análisis de series en el dominio de las frecuencias DESCOMPOSICION DE SERIES Según el esquema tradicional, una serie puede descomponerse en todos o alguno de los siguientes componentes: Tendencia, se asocia con la evolución a largo plazo de la serie, desde un punto de vista frecuencial se asocia a componentes de frecuencia baja o alternativamente de período alto, generalmente superior 8 años. Ciclo, son oscilaciones en torno a la tendencia de periodo superior al año e inferior a 8 años. Estacionalidad, son los movimientos que se producen con periodicidad anual. Irregularidad, movimientos de alta frecuencia, superior a la de la estacionalidad y distintos de los armónicos de la misma. De acuerdo con este esquema tradicional, forzamos la existencia de todos los componentes, si bien no estamos seguros de su “importancia” en la evolución de la serie, por lo que deberíamos realizar algún tipo de contraste para probar la existencia de todos los componentes. En este tipo de contraste es donde podemos acudir a las técnicas de análisis de series en el dominio de las frecuencias.

Análisis de series en el dominio de las frecuencias DESCOMPOSICION DE SERIES Una vez que se ha descompuesto la serie en cada uno de los componentes resulta bastante más sencillo realizar una predicción de la misma: Estacionalidad, si se asume como constante su predicción es inmediata. Tendencia, si se has extraído mediante ajuste de funciones de tiempo, su predicción es igualmente inmediata y basta con aplicar a futuro la función estimada. Si la tendencia se ha extraído mediante filtro de H-P. Deberíamos realizar un ajuste posterior en función del tiempo. Irregularidad, por definición es impredecible y su mejor estimación es cero. Ciclo, para la estimación del ciclo necesitamos poder ajustar funciones periódicas, y es aquí donde podemos acudir, de nuevo, al análisis de series en el dominio de las frecuencias o análisis espectral.

Análisis de series en el dominio de las frecuencias Algunas consideraciones sobre los ciclos económicos “Las economías de mercado experimentan fluctuaciones en los ritmos de crecimiento de un conjunto amplio y diverso de series: producción, empleo, precios, consumo, inversión, etc,….Tales oscilaciones son recurrentes y sistemáticas aunque con patrones variables de amplitud y duración.Estos fenómenos se denominan ciclos económicos.” (National Bureau of Economic Research)

Análisis de series en el dominio de las frecuencias Algunas consideraciones sobre los ciclos económicos GRANGER .Spectral analysis of economic time series.1964. Ondas de Kondratieff, este economista ruso planteaba la existencia de ciclos largos de entre 40 y 60 años. Sin evidencias empíricas claras. Ondas de Kuznets, ciclos de 20 años en variables como el PNB, emigración y población. Con evidencia empírica. "Building cycle". Evidencia de la existencia de ciclos de 15-20 años en el sector de la construcción. Ciclos de Hansen, este economista plantea la existencia de ciclos "mayores" de período 6-11 años (debidos a cambios tecnológicos) junto con ciclos "menores" de duración entre 2-4 años ( ciclo de inventario/ existencias). Business cycle, definidos por el NBER (National Bureau of Economic Research) como un tipo de fluctuación encontrado en la actividad económica agregada, de duración media 4 años y rango entre 1-12 años. Sub-ciclos de Mack, llamados así por tener una duración corta de 24 meses, encontrados en series de pedidos, precios, inventarios, etc….

Análisis de series en el dominio de las frecuencias Como modelizar fenómenos recurrentes: Funciones periódicas A, amplitud de la oscilación. T, período. , desfase. Expresiones alternativas:

Análisis de series en el dominio de las frecuencias ¿Es evidente la periodicidad? ciclo1=cos(2*pi*t/10)+cos(2*pi*t/40)+cos(2*pi*t/20)+cos(2*pi*t/25)+u

Análisis de series en el dominio de las frecuencias Detección de periodicidades ocultas: El correlograma. Idea básica: Una función periódica se repite transcurrido T (período), por lo tanto presentará la máxima correlación con el retardo Ty sus múltiplos enteros. Puede demostrarse que la autocorrelación de una función periódica es periódica, del mismo período que dicha función.

Análisis de series en el dominio de las frecuencias Detección de periodicidades ocultas: El periodograma El periodograma se asimila a un “sintonizador” de un receptor de radio, así, la serie que observamos sería la señal emitida por una radio y el periodograma no sería mas que el dial que busca en que frecuencia se “oye” mejor la señal emitida.

Análisis de series en el dominio de las frecuencias El periodograma: formulación. “Modelo” que sigue la serie observada: Asumimos que las frecuencias, w,denominadas Frecuencias de Fourier son: Los parámetros, a y b,se pueden estimar por MCO o bien, de forma directa como: Se calcula el periodograma I(w)

Análisis de series en el dominio de las frecuencias El periodograma: Interpretación. El periodograma mide aportaciones a la varianza total de la serie de componentes periódicos de una frecuencia determinada (w).Si el periodograma presenta un “pico” en una frecuencia, indica que dicha frecuencia tiene mayor “importancia” en la serie que el resto. ciclo1=cos(2*pi*t/10)+cos(2*pi*t/40)+cos(2*pi*t/20)+cos(2*pi*t/25)+u N=200; 200/10=20; 200/40=5; 200/20=10; 200/25=8

Análisis de series en el dominio de las frecuencias El periodograma: Interpretación. De izqda. a drcha. aumenta la frecuencia (disminuye el período) Tendencia Ciclo – Estacionalidad (Ciclo anual) Irregular

Análisis de series en el dominio de las frecuencias El periodograma y la transformada de Fourier El periodograma está basado en una herramienta matemática denominada Transformada de Fourier, según la cual una serie, que cumpla determinados requisitos, puede descomponerse como suma de un número finito o infinito de frecuencias. Del mismo modo, a partir de la representación frecuencial puede recuperarse la serie original a través de la Transformada Inversa de Fourier. En este punto, es preciso señalar las diferencias existentes entre procesos discretos periódicos, aperiódicos y estocásticos en términos frecuenciales: Las series periódicas presenta un periodograma discreto, es decir, solo existe "masa" espectral en aquellas frecuencias contenidas en la serie, siendo éstas un número discreto. Las series aperiódicas presentan un periodograma continúo, es decir, existe "masa" en un "infinito" número de frecuencias. Las series estocásticas presentan densidad espectral en un rango continúo de frecuencias.

Análisis de series en el dominio de las frecuencias SERIE PERIODICA SERIES APERIODICAS PERIODOGRAMA PERIODOGRAMA

Análisis de series en el dominio de las frecuencias SERIES ESTOCASTICAS PERIODOGRAMA (DE ESA REALIZACION)

Análisis de series en el dominio de las frecuencias LA ESTIMACION DEL ESPECTRO El espectro o densidad espectral se define para procesos estocásticos estacionarios como la transformada de Fourier de la función de autocovarianza (teorema de Wiener-Khintchine). Su estimador “natural” es el periodograma, antes visto. Como hemos comprobado es un instrumento adecuado para la detección de procesos periódicos puros, sin embargo en el caso de procesos estocásticos presenta serias limitaciones, las más importantes son la inconsistencia y la correlación asintóticamente nula entre ordenadas del periodograma. Esto implica que no converja al verdadero “espectro” cuando la muestra se amplia y que el periodograma muestre un comportamiento errático.

Análisis de series en el dominio de las frecuencias LA ESTIMACION DEL ESPECTRO: METODOS PARAMÉTRICOS Los métodos paramétricos, parten de suponer “conocido” el PGD, y modelizado en general a través de un proceso ARMA, a partir del cual se puede recuperar una estimación del espectro. Si la serie observada responde a un modelo ARMA (p,q): El espectro equivale a:

Análisis de series en el dominio de las frecuencias Serie original Estimaciones del espectro

Análisis de series en el dominio de las frecuencias COMPARACION METODOS DE ESTIMACION

Análisis de series en el dominio de las frecuencias FILTROS Un filtro no es mas que el tratamiento que se da a una serie inicial o “input” para obtener una serie final u “output”. Si el filtro es lineal, el “output” es simplemente una combinación lineal de valores pasados, presentes y futuros del “input”

Análisis de series en el dominio de las frecuencias FILTROS: UTILIDADES SON LA BASE DE LA MODELIZACION ARIMA. SUAVIZADO DE SERIES. ELIMINACION DE COMPONENTES “INDESEADOS” : DESESTACIONALIZACIÓN, ELIMINACION DE TENDENCIAS LINEALES Y ESTOCASTICAS. POTENCIACION DE DETERMINADAS CARACTERISTICAS. ESTIMACION DEL COMPONENTE CICLICO.

Análisis de series en el dominio de las frecuencias EFECTOS DEL FILTRADO EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA La característica más importante del proceso de filtrado es que el valor de la densidad espectral del output en una determinada frecuencia es el producto del valor de la función de transferencia y el valor de la densidad espectral del input en dicha frecuencia. Esta propiedad permite “anular” ciertas frecuencias con la adecuada selección de los valores del filtro, con lo que conseguimos que el output exhiba las características que deseemos.