Apuntes Matemáticas 2º ESO U.D. 4 * 2º ESO PROPORCIONALIDAD @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

REPARTOS PROPORCIONALES U.D. 4.3 * 2º ESO REPARTOS PROPORCIONALES @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Repartos proporcionales Si dos magnitudes son directamente proporcionales se cumple: a b --- = --- = r , siendo r la llamada razón de proporcionalidad. a’ b’ Si desconocemos el valor de b o de b’ ya hemos visto que podemos emplear la Regla de tres simple directa para determinarlo. a  b a.x = a’ · b’  x = a’ · b’ / a a’  x Pero además, si dos magnitudes son directamente proporcionales, y conocemos la suma o total de una de ellas, y los valores que toma la otra, podemos calcular todos los valores de la primera. Eso se conoce como Repartos proporcionales. Por ejemplo, repartir una cantidad de dinero, S, entre varias personas, de manera directamente proporcional a las horas trabajadas, a, b, c, … @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Propiedad de proporcionalidad Si dos magnitudes son directamente proporcionales se cumple siempre que la suma o resta de cantidades siguen siendo directamente proporcionales. a b a+ b --- = --- = r  ------- = r a’ b’ a’+b’ a b --- = r  a = a’.r ; ----- = r  b = b’.r a’ b’ a + b a’.r + b’.r r.( a’ + b’ ) a’ + b’ -------- = --------------- = ---------------- = r. ------------- = r a’+ b’ a’+ b’ a’ + b’ a’ + b’ @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Aplicación de la Propiedad Una persona gana 8 € si trabaja 2 horas, 12 € si trabaja 3 horas, 16 € si trabaja 4 horas, etc. Magnitud “Ganancias” 8  12  16 Magnitud “Horas trabajo” 2  3  4 8+12 20 ------ = ----- = 4 2+3 5 12+16 28 --------- = ---- = 4 3+4 7 8+12+16 36 ------------- = ---- = 4 , como vemos es un valor constante 2+3+ 4 9 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Repartos Directamente Proporcionales Hemos visto que se cumple en las magnitudes D. P.: a b c a+ b+c --- = --- = --- = ------------- = r a’ b’ c’ a’+b’+c’ Como: a a+ b+c a+b+c --- = ------------  a = a’. ----------- = a’.r a’ a’+b’+c’ a‘+b’+c’ En problemas de reparto nos suelen dar la cantidad total a repartir (S=a+b+c) y las cantidades directamente proporcionales (a’,b’,c’), quedando: S S S a = a’. ----------- ,, b = b’. ------------ ,, c = c’. ------------- a’+b’+c’ a’+b’+c’ a’+b’+c’ @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Repartos Directamente Proporcionales EJEMPLO_1 Una madre reparte 60 € entre sus tres hijos, en razón directamente proporcional al número de semanas que la han ayudado en las tareas caseras, que han sido de 3,4 y 5 respectivamente. ¿Cuánto les ha correspondido a cada uno?. Aplicando la propiedad indicada arriba, tenemos: a b c a + b + c 60 --- = --- = --- = ------------- = ----- = r 3 4 5 3 + 4 + 5 12 Como r =60/12 = 5 a = 3.r = 3.5 = 15 b= 4.r = 4.5 = 20 c= 5.r = 5.5 = 25 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Repartos Directamente Proporcionales EJEMPLO_2 Un profesor de matemáticas reparte puntos extras entre cuatro alumnos que han buscado y solucionado problemas originales, en cantidad de 2, 4, 5 y 7 problemas respectivamente. Si al alumno que resolvió 4 problemas le correspondieron 0,75 puntos, ¿cuánto les ha correspondido a cada uno y cuántos puntos repartió en total?. Aplicando la propiedad, tenemos: a 0,75 c d S --- = ------- = --- = ------ = --- = r 2 4 5 7 18 Como r =0,75/4 = 0,1875 a = 2.r = 2.0,1875 = 0,375 c= 5.r = 5.0,1875 = 0,9375 d= 7.r = 7.0,1875 = 1,3125 S = 18.r = 18.0,1875 = 3,375 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO