FUNCIONES ELEMENTALES U. D. 11 * 4º ESO E. AC. FUNCIONES ELEMENTALES @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

FUNCIÓN EXPONENCIAL U. D. 11.5 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

FUNCIÓN EXPONENCIAL Se llama FUNCIÓN EXPONENCIAL a la expresión: y = ex  f (x) = ex Es decir una potencia donde la base es el número “e” y el exponente la variable “x”. El número “e” es el número irracional de valor e = 2,718281 Funciones exponenciales son también: f(x) = ax , donde a debe ser un número positivo. g(x) = ef(x) , donde el exponente es otra función. h(x) = af(x) , donde a > 0 y el exponente es otra función. En general funciones exponenciales son todas aquellas potencias donde la variable independiente, x, forme parte del exponente. f (x) = [g (x)] h(x) se llaman funciones polinómico-exponenciales. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Gráfica de la exponencial y Sea y = ex Tabla de valores x y -4 0,018 -3 0,050 -2 0,135 -1 0,368 0 1 1 2,718 2 7,389 3 20,085 Gráfica - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Características DOMINIO: Dom f(x) = R RECORRIDO: Img f(x) = R+ , (0, +oo) Es una función continua en R. Es creciente en R Pasa por el punto (0, 1) (Corte con eje de ordenadas) Cuando los valores de x se van haciendo más y más negativos, el valor de y tiende a ser cero. La gráfica tiende a juntarse con el eje de abscisas. Decimos entonces que el eje de abscisas: y = 0 es una ASÍNTOTA. y y = ex Pc(0, 1) - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

La exponencial y = 10x y Gráfica - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x Sea y = 10x Características: Las mismas que y = ex , salvo distintos valores al ser la base distinta Tabla de valores x y -4 0,0001 -3 0,001 -2 0,01 -1 0,1 0 1 1 10 2 100 3 1000 y Gráfica - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

La función exponencial y=ax Sea y = 2x Donde la base, a, vale 2. Muy importante: Siempre a > 0 Tabla de valores x y - 4 1 / 16 - 3 1 / 8 - 2 1 / 4 - 1 1 / 2 0 1 1 2 2 4 3 8 8 y 4 Gráfica 2 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Comparativa, con a>1 f(x) = ex f(x) = 3x f(x) = 2x No existen funciones exponenciales en que la base, “a” sea negativa o cero. Toda las funciones exponenciales pasan por el punto (0, 1), único punto de corte con los ejes. En las funciones exponenciales y = ax , donde x > 1, a mayor valor de la base habrá una mayor inclinación de la función. Véase y = 2x , y = ex , y = 3x , donde 2 < e < 3 y f(x) = ex f(x) = 3x f(x) = 2x Pc(0, 1) - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

La función y = ax, (0<x<1) 8 y Sea y = (1 / 2)x Donde la base, a, vale ½ . Muy importante: Siempre a > 0 Tabla de valores x y - 4 16 - 3 8 - 2 4 - 1 2 0 1 1 1/2 2 1/4 3 1/8 4 Gráfica 2 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Características de y = ax, (0<x<1) Sea la función: f(x) = ax La diferencia más importante de las funciones con ( 0 < a < 1 ) y a > 1 , es el CRECIMIENTO. Si 0 < a < 1  La función es DECRECIENTE. Si a = 1  La función es CONSTANTE f(x) = 1  No es f. exponencial. Si a > 1  La función es CRECIENTE. y f(x) = 2x f(x) = (1/2)x - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Correspondencia f(x) = 0,5 x f(x) = 2x f(x) = 2-x Sea la función: f(x) = ax La función f(x) = a-x es idéntica a f(x) = (1/a)x Veamos que es así: 1 1 x f(x) = a-x = ----- = --------- = ( 1/a) x a x a x Ejemplos f(x) = 2 - x = (1/2) x = 0,5 x f(x) = 3 - x = (1/3) x f(x) = e - x = (1/e) x f(x) = 4 - x = (1/4) x = 0,25 x f(x) = 0,1 - x = (1/0,1) x = 10 x y f(x) = 0,5 x f(x) = 2x f(x) = 2-x - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

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APLICACIONES EXPONENCIALES INTERÉS COMPUESTO En el interés compuesto, tras cada periodo de tiempo, (t) el interés ( r) producido por el dinero que prestamos se acumula al capital inicial ( Co) para producir nuevos intereses en el periodo siguiente. Al cabo de t periodo tendremos: Cf = Co.(1+r)t Que es una función exponencial CRECIMIENTO DE POBLACIONES Ya sean personas, animales, árboles o bacterias, su crecimiento sigue las leyes de una función exponencial. Una población que tiene inicialmente N individuos y que crece a razón de un p % anual, al cabo de t años se convierte en Nt individuos, donde: Nt = N.(1+(p/100))t Si p es un valor negativo, la población decrece. Si es el valor de un objeto cualquiera, se devalúa. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.