¿Cuál será el rectángulo de área máxima? 1.Entre todos los rectángulos de perímetro dado, encontrar el que tenga el área máxima. ¿Cuál será el rectángulo de área máxima? Conceptos: Transformaciones: Tenemos nuestro sistema de ecuaciones: Rectángulo Perímetro Área Sist. De ecuaciones lineales con dos incógnitas. 2x+2y= P (I) A= x.y (II) Despejando Y de (I) nos queda: Relaciones; Sustituyendo (III) en (II) nos queda nuestra ecuación a optimizar: Axiomas de cuerpo. Reglas de derivación. Criterio de 1era derivada para extremos relativos. (IV) Luego para hallar el área máx. hacemos A’(x)=0 Esto es: Eventos y acontecimientos Despejando a X nos queda: X= (P/4) (V) Posteriormente hallamos nuestra variable faltante sustituyendo (V) en (I), nos queda: Y= (P/4) Por último sustituyendo X e Y en (II) tenemos que; X e Y son los lados del rectángulo x y 2x+2y = P (I) , siendo P el perímetro A = x.y (II), siendo A el área del rectángulo Respuesta: es un cuadrado de lados x = y = P/4 y su área es;

¿Cuál será el triángulo rectángulo de área máxima? 2.Entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa dada, encontrar el que tenga el área máxima. ¿Cuál será el triángulo rectángulo de área máxima? Conceptos: Transformaciones: Triángulo Rectángulo Catetos Hipotenusa. Área de un triángulo Sist. De ecuaciones lineales con dos incógnitas Tenemos nuestro sistema de ecuaciones: Despejando Y de (I) nos queda: Relaciones: Sustituyendo (III) en (II) nos queda nuestra Ecuación a optimizar: Axiomas de cuerpo Teorema de Pitágoras Reglas de derivación. Criterio de 1era derivada para extremos relativos. (IV) Luego para hallar el área máx. hacemos A’(x)=0 Esto es: Eventos y acontecimientos X e Y son los catetos del triángulo rectángulo y Z= hipotenusa x z y A= (x.y)/2 (II) , donde A es el área del triángulo

Continuación del ejercicio 2 Transformaciones: Sustituyendo en (I) se obtiene que: Y=X Luego halladas nuestras variables Procedemos a sustituirlas en la fórmula del área Esto es: Respuesta: es un triángulo rectángulo isósceles de área:

Área de un triángulo equilátero en función de un lado 3.Se tiene un alambre de longitud L y se desea dividirlo en dos trozos para formar con cada uno de ellos un triángulo equilátero. Hallar la longitud de cada trozo de manera que la suma de las áreas de los triángulos sea mínima. ¿Cuál será la longitud de cada trozo para que la suma de las áreas de los triángulos sea la minina? Conceptos: Transformaciones: Área de un triángulo equilátero en función de un lado Triángulo equiláteros Sist. De ecuaciones Criterio de 1era derivada El área de un triángulo Equilátero en función de un lado es:) Sustituyendo (I.a) y (I.b) en (II), se tiene: Relaciones: Axiomas de cuerpo Reglas de derivación. Criterio de 1era derivada para extremos relativos. Eventos y acontecimientos El alambre mide L de longitud L Si un trozo es X, entonces el otro trozo es L-X X L-X Un equilátero de perímetro X y lado luego, Un equilátero de perímetro L-X y lado Luego, Luego como la suma de las dos áreas ha de ser mínima, nuestra función a optimizar es A1+A2, Esto es: Luego derivando a IV:

Continuación del ejercicio 3 Transformaciones: Igualando a 0 la derivada : Se comprueba fácilmente que la longitud de Los trozos es: X=L-X=(L/2). Luego nuestra área es: Respuesta: Los dos triángulos equiláteros deben tener longitudes iguales a L/2, para que la suma de sus áreas Sea mínima. El área vendría dada por:

-Aplicando la ecuación de volumen de un 4.En una lamina cuadrada de cartón de lado L se debe cortar en cada esquina un cuadrado, de modo que, doblando convenientemente, se pueda construir una caja sin tapa. Determinar la longitud del lado del cuadrado de las esquinas para que la capacidad de la caja sea máxima. ¿Cual será la longitud del lado del cuadrado de las esquinas para que la capacidad de la caja sea máxima.? Transformaciones: Conceptos: -Aplicando la ecuación de volumen de un Paralelepípedo, tenemos que: Capacidad Volumen de un paralelepípedo Cuadrado Criterio de la primera derivada -Optimizamos nuestro volumen para que sea máximo. Relaciones: Eventos y acontecimientos: Axiomas de cuerpo Reglas de derivación. Criterio de 1era derivada para extremos relativos. Derivando ( I ) tenemos: L L-2x Igualando a cero nos queda. X Si x es el lado del cuadrado de la esquina De la lamina de cartón de lado L, entonces la caja resultante quedaría con las siguientes dimensiones: X L-2x En este caso elegimos la solución de L/6 Debido a que mientras mas pequeño sea el Cuadrado de lado x entonces más capacidad tendrá la caja deseada. Luego sustituyendo a x en nuestra ecuac. de volumen obtenemos que: Respuesta: el cuadrado de las esquinas debe ser de lado L/6 para que la capacidad de la caja sea máxima, es decir su volumen viene dado por (II)

5. Una ventana está formada por un rectángulo rematado con un semicírculo en la parte superior. Si el marco ha de tener una longitud P, determinar sus dimensiones para que la superficie de la ventana sea máxima. ¿Cuáles serán las dimensiones de la venta de tal manera que su superficie sea máxima? Transformaciones: El área de la ventana es: Conceptos: Rectángulos Semicircunferencias Longitud Superficie optimización De (I) despejamos x y la sustituimos en (II), así: Eventos y acontecimientos: Derivamos (III) luego igualamos a 0: Relaciones: Axiomas de cuerpo Reglas de derivación. Criterio de 1era derivada para extremos relativos. Luego: x Luego nos faltaría hallar la altura del rectángulo X En función de P. Esto es: D Si D es el diámetro de la semicircunferencia Y x la altura del rectángulo se cumple que: (I) Luego sustituyendo x y D en (II) se obtiene que: