DETERMINANTES U.D. 2 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

VALOR DE UN DETERMINANTE MEDIANTE GAUSS U.D. 2.4 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Recordando Método de Gauss El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineales en otro equivalente escalonado. Para hacer un sistema equivalente a otro se pueden hacer una o varias de las siguientes operaciones: Se multiplica o divide una ecuación por un número. Se cambia el orden de las ecuaciones. Se cambia el orden de las incógnitas en todas las ecuaciones del sistema. Se añade o se suprime una ecuación que sea combinación lineal de otras. Se suma o resta a una ecuación otra multiplicada por un número. Aplicado a los determinantes, consiste en conseguir un determinante equivalente donde todos los elementos por debajo de la diagonal principal sean ceros. Ello facilita muchísimo el cálculo de los determinantes. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

M. de Gauss en determinantes Al emplear el método de Gauss para transformar un determinante en otro equivalente pero con todos los elementos nulos por debajo de la diagonal principal, hay que tener en cuenta lo siguiente: Si se multiplica o divide una fila o columna por un número, el valor del determinante queda multiplicado o dividido por dicho número. Si se cambia el orden de las filas o columnas, el valor del determinante cambia de signo. Si se cambia el orden de los elementos en todas las filas o columnas, equivale a permutar, cambiando de signo el valor. No se puede añadir o suprimir ninguna fila, aunque los elementos de una fila o columna sean combinación lineal de los de otras. Se suma o resta a una fila o columna otra multiplicada por un número. En determinantes sólo se podrá aplicar Gauss aplicando una propiedad de forma directa, pues de lo contrario podría implicar errores. No obstante, si se puede, es el mejor método para desarrollar determinantes. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Método de Gauss Consiste en transformar el determinante: Donde ambos determinantes son equivalentes. La solución o valor del determinante sería: O sea, el producto de los elementos de la diagonal principal. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

EJEMPLOS 1.- Sea el determinante de orden 4: Aplicamos el método de Gauss, dejando la primera fila como está. 2ª F = 2º F +1ªF ,, 4ª F = 4ª F – 1ª F. A continuación: 4ªF = 4ªF + 3ªF Luego: 3ªF = 3ªF + 2ªF Y he terminado. |A|= = 1.1.2.(-1) = – 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

EJEMPLOS 2.- Sea el determinante de orden 4: Aplicamos el método de Gauss, dejando la primera fila como está. 2ª F = 2º F – 3.1ªF ,, 3ª F = 3ª F + 2. 1ª F ,, 4ª F = 4ª F – 1ª F. A continuación: 4ªF = 4ªF + ¾.3ªF Luego: 3ªF = 3ªF + 4/7.2ªF Finalmente: 4ªF = 4ªF – 21/36.3ªF |A|= = 1.7.(36/7).(7/2) =18.7=126 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

EJEMPLOS 3.- Sea el determinante de orden 4: Aplicamos el método de Gauss, haciendo que a11 valga 1. 1ª F = 1º F – 2.3ªF ,, 3ª F = 3ª F – 2.1ª F ,, 4ª F = 4ª F – 3.1ª F. A continuación: 4ªF = 4ªF – 7/6.3ªF Luego: 3ªF = 3ªF + 6/5.2ªF Finalmente: 4ªF = 4ªF + 5/123.3ªF |A|= = 1.5.(123/5).(240/41) =3.240 =720 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.