3° MEDIO – Matemática Común LICEO VILLA MACUL ACADEMIA “Compromiso-Innovación-Excelencia” FUNCIÓN CUADRÁTICA 3° MEDIO – Matemática Común

OBJETIVOS: Conocer y aplicar los conceptos matemáticos asociados al estudio de la función cuadrática. Determinar las intersecciones de la parábola con los ejes cartesianos. Graficar una función cuadrática, determinando vértice, eje de simetría y concavidad. Indicar las características gráficas de una parábola a través del análisis del discriminante.

Contenidos Función cuadrática 1 Parábola 2 Intersección con el eje X 3 Intersección con el eje Y 4 Concavidad 5 Eje de simetría y vértice 6 Discriminante 7 Dominio y Recorrido

Función Cuadrática Es de la forma: con a =0; a,b,c  IR f(x) = ax2 + bx + c y su gráfica es una parábola. Ejemplos: a) Si f(x) = 2x2 + 3x + 1 a = 2, b = 3 y c = 1 b) Si f(x) = 4x2 - 5x - 2 a = 4, b = -5 y c = -2

PARÁBOLAS EN LA VIDA COTIDIANA

1. Parábola La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

2. Intersección con eje X Todos los puntos sobre el eje X son de la forma (x,0); esto implica que para que se cumpla la condición, la coordenada “y” debe ser igual a 0. Si la función cuadrática es y = f(x) = ax2 + bx + c , podemos reemplazar y=0. Entonces ax2 + bx + c =0 . Es decir, debemos resolver esta ecuación para encontrar los valores de x. Tu ya sabes resolver ecuaciones cuadráticas (las raíces o soluciones x1 y x2 son las intersecciones con el eje x) x1 x2

Ejemplo Dada la función cuadrática encontremos la intersección de esta parábola con el eje x. Resolvemos la ecuación cuadrática haciendo f(x) = 0 Los puntos de intersección son x1 = -2 y X2 = 0 Puntos coordenados (-2,0) y (0,0)

3. Intersección con eje Y En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , el coeficiente c indica la ordenada del punto donde la parábola intersecta al eje Y. x y c (0,C)

4. Concavidad En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , el coeficiente a indica si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo. Si a > 0, es cóncava hacia arriba Si a < 0, es cóncava hacia abajo

La importancia del valor de “a” y de “b” El valor de “b” en la ecuación permite saber el movimiento horizontal de la parábola y “a” su concavidad. Sea la función cuadrática f(x)=ax² +bx + c Entonces: Si a>0 y b<0 la parábola abre hacia arriba y está orientada hacia la derecha. Ej. f(x)=2x² - 3x +2 Si a>0 y b>0 la parábola abre hacia arriba y está orientada hacia la izquierda. Ej. f(x)=x² + 3x - 2 Si a<0 y b>0 la parábola abre hacia abajo y esta orientada hacia la derecha. Ej. f(x)=-3x + 4x – 1 Si a<0 y b<0 la parábola abre hacia abajo y esta orientada hacia la izquierda. Ej. f(x)=-x² - 4x + 1

Ejemplo: En la función f(x) = x2 - 3x - 4 , a =1 ; b=-3 y c = -4. Luego, la parábola intersecta al eje Y en el punto (0,- 4), es cóncava hacia arriba y está orientada hacia la derecha respecto al eje Y. x y (0,-4)

5. Eje de simetría y vértice El vértice de una parábola es el punto más alto o más bajo de la curva, según sea su concavidad. El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice de la parábola, y es paralela al eje Y. Eje de simetría x y Vértice

Si f(x) = ax2 + bx + c , entonces: a) Su eje de simetría es: 2a V = -b , f -b b) Su vértice es: 4a -b , 4ac – b2 2a V =

En la función f(x) = x2 + 2x - 8, a = 1, b = 2 y c = - 8, entonces: Ejemplo: En la función f(x) = x2 + 2x - 8, a = 1, b = 2 y c = - 8, entonces: a) Su eje de simetría es: 2a -b x = 2·1 -2 x =   x = -1 b) Su vértice es: -b , f -b 2a V =  V = ( -1, f(-1) )  V = ( -1, -9 )

Eje de simetría: x = -1 f(x) Vértice: V = ( -1, -9 )

Comportamiento de la función de acuerdo a “a”, “h” y “k” Si y=ax² una función cuadrática cualquiera, entonces: y =a(x-h)² Significa que la función se movió a la izquierda o derecha, h unidades y abre hacia arriba o hacia abajo. Ej. 1) y=2(x-3)² (↑→) 2) y=-3(x-4)² (↓→) x y x y

ii) y =a(x+h)² Significa que la función se movió a la izquierda o derecha, h unidades y abre hacia arriba o abajo. Ej. 1) y= 4(x+2)² (↑←) 2) y=-(x+1)² (↓←) x y

iii) y=a(x-h)² ± k significa que la función se movió a la derecha o izquierda y k unidades hacia arriba o hacia abajo. 1) y=5(x-1)² - 4 (↑→↑) 2) y=-3(x-7)² + 6 (↓→↓)

iv) y=a(x + h)² ± k Significa que la función se movió a la derecha o izquierda y k unidades hacia arriba o hacia abajo. 1) y=(x+6)² - 5 (↑←↑) 2) y=-5(x+3)² + 3 (↓←↓) x y Obs. V(h,k) es el vértice de la parábola.

Si la parábola es abierta hacia arriba, el vértice es un mínimo y si la parábola es abierta hacia abajo, el vértice es un máximo.

¿Cuál es el gráfico de la función: Por ejemplo: ¿Cuál es el gráfico de la función: a) f(x)= (x – 1)2 – 6 b) f(x)= -(x + 1)2 + 2 V(-1,2) 2 1 -1 -6 V(1,-6)

6. Discriminante Δ = b2 - 4ac El discriminante se define como: a) Si el discriminante es positivo, entonces la parábola intersecta en dos puntos al eje X. Δ > 0 Propiedad Intelectual Cpech

b) Si el discriminante es negativo, entonces la parábola NO intersecta al eje X. Δ < 0

c) Si el discriminante es igual a cero, entonces la parábola intersecta en un solo punto al eje X, es tangente a él. Δ = 0

7. Dominio y recorrido Dom f = IR Dominio: El dominio de cualquier función cuadrática siempre será IR. Dom f = IR Recorrido: Dependerá de la concavidad de la parábola: Sí es cóncava hacia arriba, (a>0) es: ó Sí es cóncava hacia abajo, (a<0) es: ó

ACTIVIDADES DE REFUERZO Desarrolla las actividades propuestas en las páginas 128 a 136 de tu texto. 142 (actividades de función cuadrática) v , vi , vii , viii (1,2,3,4,8,10,11,16,17,18,20,22, 23,33,34,35,36,37,38,39,40)