TEMA 6: DIVISIÓN DE POLINOMIOS MATEMÁTICAS 3ºESO

Cociente de un polinomio entre un monomio Para dividir un polinomio entre un monomio, dividimos cada término del polinomio entre el monomio. Ej:

Cociente de polinomios Para dividir un polinomio entre un polinomio, seguiremos los siguientes pasos: 1º) Ordenamos los términos del dividendo (si falta algún término, se deja el hueco) y del divisor y los dispondremos como una división normal.

Cociente de polinomios (II) 2º) Se divide el primer término del dividendo con el primer término del divisor, así se obtiene el primer término del cociente. 3º) Se multiplica el primer término del cociente por cada término del divisor y el producto pasa restando al dividendo.

Cociente de polinomios (III) 4º) Se suman algebraicamente. 5º) Se divide el primer término del nuevo residuo, entre el primer término del divisor, así obtenemos el segundo término del divisor. Este segundo término se multiplica por el divisor y se pasa restando al dividendo.

Cociente de polinomios (IV) 6º) Se repite el procedimiento hasta que el grado del polinomio resto sea menor que el grado del polinomio divisor.

Cociente de polinomios Polinomio dividendo Polinomio divisor Polinomio cociente Polinomio resto

Cociente de polinomios Prueba de la división: Si el resto de la división es 0 (polinomio nulo), la división se llama exacta y se dice que: El polinomio D(x) es divisible por d(x), o múltiplo de d(x). El polinomio d(x) es factor por D(x), o divisor de D(x).

Realiza la siguiente división: Cociente de polinomios Realiza la siguiente división: 6x3 – 17x2 + 15x – 8 3x – 4 -6x3 + 8x2 2x2 - 3x + 1 - 9x2+ 15x 9x2- 12x + 3x - 8 -3x + 4 - 4 6x3-17x2+15x-8 = (3x-4)(2x2-3x+1)-4

Regla de Ruffini La regla de Ruffini es un algoritmo que permite obtener fácilmente el cociente y el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma x-a. 1º) Ordenamos los términos del dividendo y del divisor.

Regla de Ruffini (II) 2º) Se colocan los coeficientes de cada término. Si no apareciese algún término entre el de mayor grado y el de menor se coloca un 0. 3º) A la izquierda se pone el número que se resta a x en d(x), en nuestro caso 1 y se baja el coeficiente del término de mayor grado. 4º) Se multiplica el coeficiente que se ha bajado (2) por el que se ha colocado a la izquierda (1). El resultado del producto se coloca debajo del coeficiente del término siguiente y se suman .

Regla de Ruffini (III) 5º) El resultado de la suma se vuelve a multiplicar por el número situado a la izquierda y se repite el proceso. El último número (recuadro rojo) se corresponde con el resto de la división mientras que el resto de números de la fila inferior son los coeficientes del cociente.

Regla de Ruffini (III) 2 -5 -30 11 -1 0 0 -3 22 -3 -6 33 -9 2 -2 -4 -8 Realiza las siguientes divisiones, indicando el cociente y el resto obtenido: 2 -5 -30 11 -1 0 0 -3 22 -3 -6 33 -9 2 -2 -4 -8 -22 2 -11 3 2 -1 -2 -4 -11 Resto: 2 Resto: 0 NOTA: El polinomio cociente es de un grado menor que el dividendo

Teorema del resto Teorema del resto: El resto R de dividir un polinomio P(x) entre x - a , es igual al valor numérico del polinomio para x=a. R = P(a) Esto se deduce de la definición de división, cuando el divisor d(x)=x-a: Cuando x=a: P(a)= R

Teorema del resto Sin efectuar la división, calcula el resto: = 2 = 0

Aplicación del Teorema del resto El resto de dividir el polinomio P(x)=x3-x2+kx+2 entre x-1 es 6. Halla el valor de k: Aplicando el teorema del resto: R=P(1)=6 P(x)=x3-x2+4x+2

Teorema del factor Teorema del factor: Un polinomio P(x) tiene como factor x - a , si el valor numérico del polinomio para x=a es 0. Este resultado también proviene de la definición de división, cuando el divisor d(x)=x-a: Si el resto R=0: Esta relación indica que (x-a) es un factor o divisor del polinomio P(x).

Aplicación del Teorema del factor Comprobar si x+3 es un factor del polinomio P(x)=x3+2x2-6x-9. Aplicando el teorema del factor, si R=P(-3)=0, entonces x+3 será un factor de P(x): Entonces x+3 es un factor de P(x) x3+2x2-6x-9 porque el resto es 0.

Comprobar si x+3 es un factor del polinomio P(x)=x3+2x2-6x-9, aplicando Ruffini: 1 2 -6 -9 -3 -3 3 9 1 -1 -3

Raíces de un polinomio Las raíces de un polinomio P(x) son los valores que lo hacen cero, es decir, las soluciones de la ecuación P(x)= 0. Un polinomio de grado n, tiene como máximo, n raíces reales. Si un polinomio tiene raíces enteras, éstas son divisores del término independiente .

Raíces enteras de un polinomio Para hallar las raíces enteras de un polinomio, aplicaremos el teorema del resto a los divisores del término independiente. Si el resto es 0, diremos que ese número es raíz del polinomio. EJ: Calcula las raíces enteras del siguiente polinomio: Las posibles raíces enteras serán: 1 sí es raíz -1 sí es raíz 3 NO es raíz -3 sí es raíz Las raíces enteras de P(x) son 1, -1 y -3.

Raíces enteras de un polinomio Cuando un polinomio no tiene término independiente, se debe extraer factor común de x, x2, x3.... La raíz de ese monomio extraído siempre será 0. EJ: Calcula las raíces enteras del siguiente polinomio: 0 sí es raíz doble Las posibles raíces enteras serán: 1 sí es raíz -1 sí es raíz Las raíces enteras de P(x) son 0, 1 y -1.

Raíces enteras de un polinomio Existen polinomios que no tienen raíces enteras. Se llaman polinomios irreducibles. EJ: Calcula las raíces enteras del siguiente polinomio: Las posibles raíces enteras serán: 1 NO es raíz -1 NO es raíz 2 NO es raíz -2 NO es raíz P(x) no tiene raíces enteras.

Factorización de polinomios Factorizar un polinomio es descomponerlo en 2 o más polinomios de menor grado, de forma que su producto sea el polinomio dado. EJ: Factoriza el siguiente polinomio: Se busca una raíz mediante la Regla de Ruffini, entre las posibles raíces enteras: 1 7 11 5 1 1 8 19 1 8 19 24 1 NO es raíz

1 7 11 5 -1 sí es raíz -1 -1 -6 -5 1 6 5 Es necesario volver a probar si -1 es raíz -1 -1 -5 -1 sí es raíz 1 5 No existe un método único para factorizar un polinomio. Lo habitual es buscar una raíz a y expresarlo como x-a multiplicado por el cociente.

Factorización de polinomios PASOS PARA FACTORIZAR UN POLINOMIO 1.-Sacar factor común, si se puede. 2.- Buscar las raíces enteras, poco a poco, y vamos descomponiendo el polinomo, hasta llegar a un polinomio de 2º grado. 3.- Observar el polinomio de 2º grado y puede pasar: a) Que sea una identidad notable. Lo factorizo usándola. b) Que no lo sea. Resuelvo la ecuación de 2º grado que sale al igualar a cero el polinomio. 4. Escribo la factorización del polinomio, multiplicando por el coeficiente de mayor grado si es distinto de 1.