MEDIDA DE LONGITUDES U. D. 8 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

DISTANCIA ENTRE PUNTOS U. D. 8.1 * 4º ESO E. AP. DISTANCIA ENTRE PUNTOS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Coordenadas cartesianas Un sistema de coordenadas cartesianas está formado por: Dos rectas perpendiculares y graduadas, una horizontal y otra vertical, que se llaman ejes de coordenadas. Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro cuadrantes. El punto donde se cortan los ejes se llama origen de coordenadas. El eje horizontal se llama eje de abscisas o eje OX. El eje vertical se llama eje de ordenadas o eje OY. Los puntos del plano se indican dando sus dos coordenadas P(x,y). La coordenada x, medida en el eje horizontal, es la abscisa del punto. La coordenada y, medida en el eje vertical, es la ordenada del punto. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Cuadrantes 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 Y Segundo cuadrante. Abscisa (- 4) negativa y ordenada (1) positiva. A(4, 3) Primer cuadrante. Abscisa (4) y ordenada (3) positivas B(- 4, 1) X -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 C(- 2, - 2) D(3, -1) Tercer cuadrante. Abscisa (- 2) y ordenada (- 2) negativas Cuarto cuadrante. Abscisa (3) positiva y ordenada (- 1) negativa. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

DISTANCIA ENTRE PUNTOS Hallar la distancia entre dos puntos del plano cuyas coordenadas conocemos, es el mismo problema que hallar el módulo de un vector, Hallar el módulo de un vector será hallar la distancia entre el punto origen, A, y el punto extremo, B. d (A, B) =|v| =√ [ (x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 ] Siempre podemos formar un triángulo rectángulo cuyos catetos son: La diferencia de abscisas (x) La diferencia de ordenadas (y) El valor de la hipotenusa será la distancia que deseamos saber o el módulo del vector: d(A,B) =|v| =√ [ (8 – 4)2 + + (5 – 2)2 ] = = √ [42 + 32] = √ 25 = 5 B(8, 5) v =(4, 3) A(4, 2) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Hallar la distancia del punto P(7, - 5) al punto Q(0, 2). EJEMPLO_1 Hallar la distancia del punto P(7, - 5) al punto Q(0, 2). d (M, N) = √ [ (x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 ] = = √ [ (0 - 7) 2 + ( 2 - (- 5) 2 ] = √ ((- 7) 2 + 7 2) = √ 50 = 5 .√ 2 EJEMPLO_2 La distancia del punto P(5, - 5) al punto Q(- 3, a) es 10. Hallar el valor de a. d (P, Q) = √ [ (x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 ] = 10 √ [ (- 3 - 5) 2 + ( a - (- 5)) 2 ] = 10 √ [ (- 8) 2 + ( a + 5) 2 ] = 10 Eliminando la raíz: 64 + a 2 + 10.a + 25 = 100 a 2 + 10.a - 11 = 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado: - 10 +/- √(100 + 44) - 10 +/- 12 1 a= --------------------------- = -------------- = 2 2 - 11 El punto Q tiene de coordenadas (- 3, 1) y también ( - 3, - 11). Se puede comprobar que son válidas las dos soluciones. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

d (M, N) = √ [ (x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 ] = 13 EJEMPLO_3 La distancia del punto M(0, - 2) al punto N(a, b) es 13. Hallar las coordenadas del punto N, sabiendo que la ordenada es doble que la abscisa. d (M, N) = √ [ (x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 ] = 13 √ [ (a - 0) 2 + ( b - (- 2)) 2 ] = 13 Por el enunciado: b= 2.a Luego tenemos: √ [ a 2 + ( 2.a + 2) 2 ] = 13 Eliminando la raíz y operando las potencias notables: a 2 + 4.a 2 + 8.a + 4 = 169 5.a 2 + 8.a - 165 = 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado: - 8 +/- √(64 + 3300) - 8 +/- 58 5 a= --------------------------- = -------------- = 2.5 10 - 6,6 El punto Q tiene de coordenadas (5, 10) y también ( - 6’6, - 13’2). Se puede comprobar que son válidas las dos soluciones. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

PUNTO MEDIO DE SEGMENTO Los dos triángulos rectángulos que se pueden formar son semejantes por tener los ángulos iguales. Como además las hipotenusas deben ser iguales, ambos triángulos son iguales, con lo que los catetos son iguales. x2 – x = x – x1 y2 – y = y - y1 B (x2, y2) y Obtenemos: x2 – x1 = 2.x y2 – y1 = 2.y Por lo cual las coordenadas del punto medio serán: x2 + x1 y2 + y1 x = ---------- ; y = ---------- 2 2 M(x, y) A (x1, y1) x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Las coordenadas del punto medio serán: Ejemplo 1 Hallar el punto medio del segmento cuyos extremos son A(-2. 5) y B(6, 7) Las coordenadas del punto medio serán: x2 + x1 6+(-2) 4 y2 + y1 7 + 5 12 x = ------------ = ----------- = ---- = 2; y = ----------- = --------- = ---- = 6  M(2,6) 2 2 2 2 2 2 Ejemplo 2 El punto M(-2, 3) es el punto medio del segmento AB, donde A(-7, 5) y B(a, b) Hallar las coordenadas del extremo B. Tenemos: x2 + x1 - 7 + a x = -----------; - 2 = -----------  - 4 = - 7 + a  - 4 + 7 = a  a = 3 2 2 y2 + y1 5 + b y = -----------; 3 = ---------  6 = 5 + b  6 – 5 = b  b = 1 2 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.