TRIGONOMETRÍA Rama de la matemática que estudia la relación entre los ángulos y los lados de un triángulo

TRIÁNGULOS Repasamos algunos conceptos (este repaso también está presente en el MIX Semejanza de Triángulos) Recordemos algunas propiedades de los triángulos: * Tienen 3 lados, 3 ángulos y 3 vértices * La suma de sus ángulos interiores es de 180°; por ejemplo, 100°, 60° y 20° * La medida de uno de sus lados es menor que la suma de la medida de los otros dos. Por ejemplo, si un lado mide 8 cm, la suma de los otros dos debe ser mayor que 8, por ejemplo, 3 cm y 6 cm. Sino, ¡no se forma el triángulo! * Dos o más triángulos son semejantes cuando la proporción (o razón) entre la medida de sus lados es la misma. Por ejemplo, un triángulo cuyos lados miden 2, 3 y 4 cm es semejante a otro cuyos lados miden 4, 6 y 8 cm. Veremos más sobre esto en la siguiente diapositiva

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Son los triángulos que tienen un ángulo recto, es decir, que mide 90° El lado que se opone al ángulo recto se conoce como hipotenusa. A los otros dos se los llama catetos. Recordamos: Teorema de Pitágoras (Hipotenusa)2 = (Cateto A) 2 + (Cateto B) 2 IMPORTANTE: Si esta igualdad no se cumple, el triángulo no es rectángulo En la próxima diapositiva, vas a poder modificar la medida de los catetos de cada uno de los tres triángulos rectángulos que se presentan. (ver MIX Semejanza de Triángulos) Prestá atención a la columna de la derecha, donde se van a calcular las razones, es decir, las divisiones, entre las medidas de cada lado. Nos vamos a basar en estas razones para trabajar con TRIGONOMETRÍA

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS SEMEJANTES En la próxima diapositiva, vas a poder modificar la medida de los catetos de cada uno de los tres triángulos rectángulos que se presentan. Prestá atención a la columna de la derecha, donde se van a calcular las razones, es decir, las divisiones, entre las medidas de cada lado. Realizá las siguientes actividades: 1) ¿Qué triángulos son semejantes entre sí? 2) ¿Qué pasa con las razones cuando los triángulos son semejantes? ¿Por qué creés que pasa esto? 3) ¿Qué pasa cuando sí lo son? ¿Por qué? 4) Modificá la medida de los lados triángulos, de manera que los tres sean semejantes (pero que todas las medidas sean diferentes) 5) ¿Qué pasa con los ángulos en este caso? ¿Cuál es el motivo? 6) ¿Por qué sólo necesitamos datos sobre dos lados? 7) ¿Cómo se podría calcular el tercer lado de cada triángulo?

TRIGONOMETRÍA Las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo reciben un nombre, y las vamos a llamar en adelante "Relaciones Trigonométricas". Si tomamos como referencia el ángulo B: * Seno de B: 𝑠𝑒𝑛𝐵= 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 * Coseno de B: 𝑐𝑜𝑠𝐵= 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 * Tangente de B: ta𝑛𝐵= 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 B cateto adyacente Hipotenusa A cateto C opuesto

En la siguiente actividad, vas a poder variar los lados de un triángulo. La computadora va a calcular las razones, y el valor del ángulo en base a eso. Realizá las siguientes consignas: Dado el triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 cm, ¿qué relación hay entre el seno y el coseno de cada ángulo? ¿Qué relación hay entre las tangentes de cada ángulo? Modificá la medida de los catetos usando los deslizadores. ¿Eran correctas tus suposiciones anteriores? Ahora, modificá el triángulo, haciendo moviendo el punto C. Prestá atención a los ángulos que se calculan a la derecha. ¿Coinciden? ¿En qué casos? Verificá lo anterior usando los botones que muestran los ángulos ¿Tiene sentido usar trigonometría para calcular el ángulo B? ¿Por qué? * Seno de 𝛼: 𝑠𝑒𝑛𝛼= 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 * Coseno de 𝛼 : 𝑐𝑜𝑠𝛼= 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 * Tangente de 𝛼 : ta𝑛𝛼= 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

EN CONCLUSIÓN… Las razones trigonométricas seno, coseno y tangente se aplican a triángulos rectángulos, y sirven para calcular tanto los lados como los ángulos que no conocemos Tiene sentido utilizarlas para los ángulos que no son rectos. Importante: el ángulo tomemos como referencia determina el planteo de las razones. Por ejemplo, si tomamos como referencia el ángulo C: * Seno de C: 𝑠𝑒𝑛𝐶= 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 * Coseno de C: 𝑐𝑜𝑠𝐶= 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 * Tangente de C: ta𝑛𝐶= 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 B cateto opuesto Hipotenusa A cateto C adyacente

SIMULADORES Ahora, te vamos a plantear dos simuladores, que te van a permitir, a partir de distintos datos, determinar los datos que faltan, es decir, calcular los lados y ángulos que no son datos. A esto lo llamamos “resolver un triángulo”. En esta actividad, los datos son los deslizadores que podés mover. Respondé, con la ayuda de los simuladores: ¿Cuántos lados del triángulo rectángulo se necesita conocer para poder calcular sus ángulos? ¿Y con cuántos lados y cuántos ángulos alcanza para conocer los demás? Si conociera sólo los ángulos, ¿podría calcular los lados? ¿Sería posible usar el simulador de la derecha si se conociera un cateto en vez de la hipotenusa?

¿Es cierto que…

Elegí la única opción correcta

¿Cómo resolvemos triángulos rectángulos usando razones trigonométricas? Lo más importante es identificar, de acuerdo a la información que tenemos, qué razón nos conviene usar. Es decir, cuál de las tres razones trigonométricas relacionan dos datos para encontrar un tercero que nos falta. Por supuesto, también podemos usar la propiedad triangular (que la suma de los ángulos interiores es 180°) si conocemos 2 ángulos. También podemos usar el Teorema de Pitágoras si conocemos dos de los tres lados. * Seno de C: 𝑠𝑒𝑛𝐶= 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 * Coseno de C: 𝑐𝑜𝑠𝐶= 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 * Tangente de C: ta𝑛𝐶= 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 B cateto opuesto Hipotenusa A cateto C adyacente

¿Y si conocemos un lado y un ángulo? En ese caso, tendremos que usar una de las razones trigonométricas, de acuerdo al problema, y ayudarnos con una CALCULADORA CIENTÍFICA (ver video a la derecha). Ejemplo: Si C = 30° y la hipotenusa es 5 cm, calculamos el cateto opuesto con el seno, ya que relaciona al ángulo con esos dos lados. Planteamos una ecuación y la resolvemos, así: * Seno de C: 𝑠𝑒𝑛30= 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 5𝑐𝑚 0,5= 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 5𝑐𝑚 0,5 . 5 𝑐𝑚=𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 2,5𝑐𝑚=𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 Por lo tanto, el cateto opuesto mide 2,5 cm. ¿Con qué otra razón podrías calcular el otro cateto? IMPORTANTE: la calculadora tiene que estar en modo “DEG” B cateto opuesto 5 cm A cateto C adyacente

¿Y si sólo conocemos los lados? En ese caso, también nos ayudará una CALCULADORA CIENTÍFICA. Pero hay que prestar atención a lo siguiente: si no conocemos ningún ángulo, debemos averiguarlo. Las calculadoras tienen funciones inversas para estos casos. Habitualmente, se obtienen con teclas llamadas INV o SHIFT. Prestá atención al video: Ejemplo: Calcular la amplitud del ángulo C. Necesitamos usar la tangente, ya que los datos que conocemos son los catetos: Tangente de C: ta𝑛𝐶= 3𝑐𝑚 4𝑐𝑚 ta𝑛𝐶=0,75  𝐶≈36° Por lo tanto, el ángulo C mide aproximadamente 36° B 3 cm Hipotenusa A C 4 cm

¡A practicar! Con la ayuda de la calculadora, realizá las siguientes actividades. Después, verificá lo que hiciste con los simuladores Se tiene un triángulo rectángulo ABC recto en B. Si A=42° y AC= 11 cm, calcular Cuánto mide el lado AB El perímetro del triángulo ABC Se tiene un triángulo rectángulo ABC recto en C, Si B= 55° y AB= 12 cm, Calcular el lado AC Se tiene un triángulo isósceles ABC, donde A y C son los ángulos iguales. AC mide 7cm, y A= 30°. Calcular su perímetro Se tiene un triángulo isósceles ABC donde A y C son los ángulos iguales. Si BC= 3cm y A= 50°, hallar la medida de los lados restantes y de los ángulos. Se tiene un rombo ABCD, A=48°. Su diagonal mayor mide 8cm. Calcular los lados del rombo, y sus ángulos interiores Se tiene un rombo ABCD, B=110° Su diagonal menor mide 10 cm. Calcular los lados del rombo y sus ángulos interiores. De un triángulo rectángulo ABC, recto en A, se conocen BC = 5 m y B = 41.7°. Hallar todos los ángulos y los lados De un triángulo rectángulo ABC, recto en A, se conocen BC = 6 m y AC = 4 m. Hallar todos los ángulos y la medida del lado AB. 9. En un rombo, se sabe que su diagonal mayor mide 24 cm, y su diagonal menor mide 10 cm. Calcular la amplitud de sus ángulos interiores, perímetro y superficie