Apuntes 1º Bachillerato CT LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES U.D. 7 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

APLICACIONES DE FUNCIONES U.D. 7.10 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Aplicaciones de funciones EJEMPLO 1 Un estudio realizado nos indica la relación que hay entre el número de p.p.m. de un alumno al estudiar mecanografía y el número de clases impartidas. La función resultante es: f(x) = [350.(x+1)] / (x+20), siendo x el número de clases a) En primer lugar averigua el número de horas de academia que debes pagar para asegurarte tener 120 ppm; para 240; para 300; y para llegar a las 350. b) Haz ahora una tabla de valores para obtener las ppm en función del número de horas de academia. No te olvides dar a la variable “x” los cuatro valores obtenidos antes. c) Analiza las ppm obtenidas en los mayores valores dados a “x”. Incluso puedes dar algún valor más, ampliar la tabla. ¿Qué pasa con dichos valores ?. d) Calcula el límite de la función cuando x oo, o sea cuando toma valores muy grandes. Posiblemente te dé un valor finito. ¿Qué significa? e) Construye la Gráfica para visualizar mejor la función. ¿Lo ves?. Coméntalo. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I RESOLUCIÓN f(x) = [350.(x+1)] / (x+20), siendo x el número de clases a) Calculamos el número de horas necesarias: 120 = [350.(x+1)] / (x+20)  120.(x+20) = 350.x+350 120.x+2400 = 350.x+350  2050 = 230.x  x = 9 horas. 240 = [350.(x+1)] / (x+20)  240.(x+20) = 350.x+350 240.x+4800 = 350.x+350  4450 = 110.x  x = 40 horas. 300 = [350.(x+1)] / (x+20)  300.(x+20) = 350.x+350 300.x+6000 = 350.x+350  5650 = 50.x  x = 130 horas. 350 = [350.(x+1)] / (x+20)  350.(x+20) = 350.x+350 350.x+7000 = 350.x+350  6650 = 0.x  x = Error (oo horas). b) Tabla de valores: Horas – 20 9 24 40 130 oo – 153 Ppm 17´5 120 200 240 300 350 400 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I RESOLUCIÓN c) Análisis: Vemos que para obtener 350 ppm necesitaríamos infinitas horas. Y además, lo que es absurdo, al pretender pasar de 350 ppm el número de horas es negativo. d) ¿Significa que nunca podemos llegar a las 350 ppm?. Veamos que no, pues hay una asíntota horizontal que nos lo impide. y = lím 350 x / (x + 10) = [oo / oo] = Dividiendo todo entre x  x  oo y = lim 350 / ( 1 + 10/x) = 350 / 1 = 350 Y como todo límite, su valor nunca puede ser alcanzado por f(x). Horas – 20 9 24 40 130 oo – 153 Ppm 17´5 120 200 240 300 350 400 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Parte de la gráfica que justifica un número de horas negativo al pretender pasar las 350 ppm. Nº de pulsaciones por minuto 350 35 -10 0 10 20 30 40 Tiempo en horas de clase @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 2 En un laboratorio se ha obtenido la siguiente fórmula de un compuesto y = 75.x /(x+1) Siendo y el porcentaje de curaciones y x la cantidad en mgr de un determinado componente. a) Averigua la cantidad necesaria del componente para obtener el 25%, el 50%, el 75% y el 100% de curaciones. b) Representa gráficamente dicha función para poder visualizar el proceso y comprender algunas “rarezas” que te han debido salir en los anteriores cálculos. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I RESOLUCIÓN f(x) = 75.x / (x+1), siendo x la cantidad del componente en mg a) Calculamos las cantidades necesarias: 25 = 75.x / (x+1)  25.(x+1) = 75.x 25.x+25 = 75.x  25 = 50.x  x = 0,50 mg 50 = 75.x / (x+1)  50.(x+1) = 75.x 50.x+50 = 75.x  50 = 25.x  x = 2 mg 75 = 75.x / (x+1)  75.(x+1) = 75.x 75.x+75 = 75.x  75 = 0.x  x = Error (oo mg) 100 = 75.x / (x+1)  100.(x+1) = 75.x 100.x+100 = 75.x  25.x = – 100  x = – 4 mg b) Tabla de valores: Cantidad mg. – 1 0,50 2 oo – 4 % Curaciones 25 50 75 100 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Parte de la gráfica que justifica un número de mg negativo al pretender pasar del 75% Porcentaje de curaciones (%) 75 50 25 -1 0 1 2 3 4 Cantidad en mg Asíntota Horizontal: y = lím 75.x / (x + 1) = [oo / oo] = 75 x  oo @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Inflación Durante los 7 últimos años la inflación en un país ha sido del 5%. a) ¿Qué cuesta ahora un artículo que hace 7 años costaba 30 €?. b) ¿Qué costaba hace 7 años un artículo que ahora cuesta 50 €?. P actual = P ant + P ant x 0,05 = P ant x 1,05 En 7 años: P actual = P ant x 1,057 a) P actual = P ant x 1,057 P actual = 30 x 1,057 = 30 X 1,4071 = 42,21 € b) P actual = P ant x 1,057 50 = P ant x 1,057 = P ant x 1,4071 De donde: P ant = 50 / 1,4071 = 35,53 € @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Mensualidad a abonar Una persona contrata un fondo de pensiones, abonando por ello 60 € mensuales. Cada año el importe mensual sube un 5%. a) ¿Qué abonará mensualmente al cabo de 10 años.?. b) ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que se duplique la mensualidad?. En un año: M futura = M actual + M actual x 0,05 = M actual x 1,05 En 10 años: M futura = M actual x 1,0510 a) M futura = M actual x 1,0510 M futura = 60 x 1,0510 = 60 x 1,6289 = 97,63 € b) M futura = M actual x 1,05t 2 x M actual = M actual x 1,05t De donde: 2 = 1,05t  log 2 = t. log 1,05 Despejando t queda: t = 0,301030 / 0,021189 = 14,20 años @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Declive de un valor Una máquina nos ha costado 25.000 € Cada año se deprecia su valor un 15% según Hacienda. Esto significa que después de la depreciación del primer año será de solamente 85% de su costo original, o 21.250 €. 1. ¿Disminuye el valor de la máquina la misma cantidad cada año? 2. ¿Cuándo es mayor la caída en valor? 3. ¿Cuándo es menor la caída en valor? 4. De acuerdo a este modelo, ¿llegará un momento en que el valor de la máquina será nulo?. 5. ¿Tendrá la máquina en algún momento un valor negativo, de acuerdo a este modelo? La fórmula y = 25000.(1 – 0,15)x y = 25000.(0,85)x predecirá el valor después de x años de depreciación. Usa tu calculadora para dibujar una gráfica de esta función. @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Plaga de ratas En un parque público hay una población de 200 roedores. Sabemos que se reproducen de forma exponencial. Al mes, la población es de 300 roedores. ¿Qué población habrá al cabo de 3 meses? ¿Y de un año? La población vendrá dada en todo momento por la expresión (función): P = Po.ax Al mes (x=1) tenemos: 300 = 200.a1, de donde a = 300/200 = 1,50 Al cabo de 3 meses (x=3): P = 200.(1,50)3 = 675 roedores. Al año (x=12): P = 200.(1,50)12 = 25 950 @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Bacterias La población de cierto tipo de bacterias que crece en un cultivo es función del tiempo transcurrido en minutos, y viene dado por: N(t) = e12 / (2 + 103 . e – 2.t ) a) ¿Cuál es la población en el momento de iniciarse el estudio biológico?. b) ¿Hacia qué valor tiende a estabilizarse con el transcurso del tiempo?. Resolución a) Actualmente: t=0 N(0) = e12 / (2 + 103 . e – 2.0 ) = e12 / (2 + 103 ) = 162754 / 1002 = 162 b) Suponiendo la función válida de modo indefinido: N = lím e12 / (2 + 103 . e – 2.t ) = e12 / (2 + 103 . e – 2.oo ) = too N = e12 / (2 + 103 . (1 / oo)) = e12 / (2 + 103 . 0) = e12 / 2 = 81377 bacterias too too @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I La población mundial Un grupo de expertos en demografía tras estudiar el crecimiento de la población mundial, ha establecido que esta población, y, en función del año correspondiente, x, puede expresarse según la siguiente ecuación: y = 100,00389.x+2 a) Dibuja la gráfica de esta función. b) ¿En qué año la población alcanzó los mil millones?. 109 = 100,00389.x+2 9 = 0,00389.x + 2  x = (9 – 2)/0,00389 = 1799 c) ¿Y los 3 mil millones? 3.109 = 100,00389.x+2 Log 3 + 9 = 0,00389.x + 2  x = (0,4771 + 9 – 2)/0,00389 = 1922 d) Del mismo modo calcula en que año alcanzará los 6 mil millones de habitantes. 6.109 = 100,00389.x+2 Log 6 + 9 = 0,00389.x + 2  x = (0,7781 + 9 – 2)/0,00389 = 1999 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Especies protegidas El número de osos blancos de una determinada zona del planeta vendrá dado por la siguiente función: f(t) = 250.log [(900 t + 130) / (13 + t)] Siendo t el tiempo transcurrido en años. a) ¿Cuál es el número actual de osos?. b) ¿Se llegará a estabilizar la población de osos?. Resolución a) Actualmente: t=0 f(0) = 250.log [(900.0 + 130) / (13 + 0)] = = 250.log(130 / 13) = 250.log 10 = 250.1 = 250 b) Suponiendo la función válida de modo indefinido: N = lím 250.log [(900.t + 130) / (13 + t)] = too 250 250 N = log ( lím [(900.t + 130) / (13 + t)] ) = log 900 = 250.log 900 = t oo = 250.2´954 = 738 osos @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I