Apuntes de Matemáticas 3º ESO U.D. 4 * 3º ESO E.Ap. PROPORCIONALIDAD @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

PORCENTAJES: CALCULO DIRECTO U.D. 4.6 * 3º ESO E.Ap. PORCENTAJES: CALCULO DIRECTO @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO PORCENTAJES La proporcionalidad se expresa con un cociente, una fracción a --- = k , siendo k la razón de proporcionalidad o simplemente razón. a’ PORCENTAJE o TANTO POR CIENTO Un porcentaje es una proporcionalidad cuyo denominador es 100. Su símbolo es %. Para comparar dos razones se utilizan los porcentajes. EJEMPLO En Matemáticas han aprobado 2 de cada cinco alumnos. 2 40 --- = ------ = 40 % , que es el porcentaje de aprobados. 5 100 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

¿Dónde han aprobado más, porcentualmente?. 3 60 OTRO EJEMPLO En Matemáticas han aprobado 3 de cada 5 alumnos, en Latín 4 de cada 8, y en Economía 9 de cada 12. ¿Dónde han aprobado más, porcentualmente?. 3 60 --- = ------ = 60 % , que son los aprobados en Matemáticas. 5 100 4 50 --- = -------- = 50 % , que son los aprobados en Latín. 8 100 9 75 --- = ---------- = 75 % , que son los aprobados en Economía. 12 100 El mayor porcentaje de aprobados es en Economía. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 3º ESO E.AC.

Apuntes de Matemáticas 3º ESO TANTO POR UNO TANTO POR UNO En una razón se llama tanto por uno a la expresión decimal que resulta de efectuar la división. a --- = r , siendo r la razón de proporcionalidad o tanto por uno. a’ EJEMPLO_1 En Matemáticas han aprobado 2 de cada cinco alumnos. 2 --- = 0,4 , que es el tanto por uno. 5 EJEMPLO_2 En Física han aprobado 3 de cada ocho alumnos. 3 --- = 0,375 , que es el tanto por uno. 8 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Relaciones FRACCIÓN TANTO POR UNO INDICE VARIACIÓN PORCENTAJE 2 --- 5 3 8 7 1 4 0,4 0,375 1,4 0,25 0,4 0,375 1,4 0,25 40 % 37,5 % 140 % 25 % @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO TANTO POR MIL Cuando el tanto por ciento, %, resulta una cantidad muy pequeña, resulta más adecuado expresarlo en tanto por mil. El tanto por mil es una proporcionalidad cuyo denominador es 1000. Su símbolo es o/oo EJEMPLO En África el virus Ébola mata a 3 de cada 10000 personas. 3 0,3 --------- = -------- = 0,30 o/oo , que es el porcentaje de muertes. 10000 1000 EJEMPLO_2 El número de inmigrantes en Barcelona es de 400 por cada millón de personas. 400 4 0,4 ------------ = ----------- = -------- = 0,4 o/oo , que es el tanto por mil. 1000000 10000 1000 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

PORCENTAJES ENCADENADOS TANTO POR UNO ENCADENADOS La aplicación sucesiva de porcentajes, o tantos por uno, de una cantidad se llama tantos por uno encadenados y es equivalente al PRODUCTO de estos. Ejemplo 1 Al comprar un objeto nos hacen un 20% de descuento, pero al pagarlo nos aplican un 16% de IVA Si nos hacen un 20% de descuento: 100 – 20 = 80  Se paga el 80% del precio. Si nos imponen un 16% de IVA: 100 + 16 = 116  Se paga el 116 % del precio. En total: El 116% del 80% será 1,16 . 0,8 = 0,928 , que es el 92,8 % del precio. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLO 2 El precio de un ordenador marca 1000 €. Nos hacen un 20 % de descuento. Pero al pedir la factura nos aplican un 16% de IVA. ¿Cuánto pagamos por el ordenador?. Descuento: 100 – 20 = 80 80 80% de 1000 = ----- . 1000 = 800 € hay que pagar. 100 Aumento: 100 + 16 = 116 116 116 % de 800 = -------. 800 = 928 € pagamos finalmente Utilizando porcentajes encadenados, tenemos: 116 % de (80 % de 1000) = 1,16.0,8. 1000 = 0,928.1000 = 928 € Al final pagamos el 92,8 % de su valor, menos de lo señalado. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLO 3 Un piso me costó hace pocos años 100.000 €. Su valor ha aumentado un 25%. Pero al venderlo, los gastos me suponen un 20% de su valor. ¿Qué dinero voy a obtener finalmente si le vendo?. Aumento de valor: 100 + 25 = 125 125 125 % de 100.000 = ------ . 100.000 = 125.000 € vale ahora. 100 Gastos de venta: 100 - 20 = 80 80 80 % de 125.000 = -------. 125.000 = 100.000 € obtendría Utilizando porcentajes encadenados, tenemos: 80 % de (125 % de 100.000) = 0,8.1,25.100.000 = 1x100.000 = = 100.000 € Importante: A pesar de que la subida (25%) es mayor en porcentaje que los gastos (20%), los porcentajes se aplican a cantidades diferentes (100.000 € y 125.000 €), por lo cual el balance final es nulo. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLO 4 Un coche valía en Enero 12.000 €. En Junio subió un 5%. En Agosto subió un 3%. Y en diciembre bajó un 7 %. ¿Por cuánto lo compré a final de año?. Porcentaje encadenado: (100 + 5 %).(100 + 3 %).(100 – 7 %) = = (105 %).(103 %).(93%) En tantos por uno, para poder operar: = 1,05.1,03.0,93 = 1,005795 Precio final: P = 1,005795.12000 = 12069,54 € @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLO 5 Una lavadora costaba en Enero 300 €. En Marzo había bajado su precio un 10 %, en Julio había subido un 15% y en Septiembre bajó un 12%. ¿Cuánto me costó, si la compré en Octubre?. Porcentaje encadenado: (100 – 10 %).(100 + 15 %).(100 – 12 %) = = (90 %).(115 %).(88 %) En tantos por uno, para poder operar: 0,90.1,15.0,88 = 0,9108 Precio final: Pf = 0,9108.Po  Pf = 0,9108.300 = 273,24 € @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO