Matemáticas 2º Bachillerato C.S. INTEGRALES U.D. 10 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

Matemáticas 2º Bachillerato C.S. CÁLCULO DE VOLÚMENES U.D. 10.8 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

Matemáticas 2º Bachillerato C.S. CÁLCULO DE VOLÚMENES Imaginemos una función cualquiera y = f(x). La hacemos girar alrededor del eje de abscisas entre x=a y x=b. Se habrá generado un cuerpo de revolución ( puede ser un cilindro, un cono, un tronco de cono, una esfera, un “balón de rugby”, o miles más de todas las formas imaginables ). Se demuestra que el volumen del cuerpo engendrado por y = f(x) definida en un intervalo [a, b], al girar en torno del eje OX se calcula con la formula: b Volumen =  . ∫ f(x)2 dx a cuyos pasos para resolver la integral son los mismos que para el cálculo de áreas, sin más que elevar al cuadrado previamente f(x). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

RECTA ENGENDRA CILINDRO b Volumen =  . ∫ f 2 (x) dx a Hallar el volumen que engendra la función y = 2 al girar alrededor del eje OX entre x = - 2 y x = 2 2 2 V = π . ∫ 22 dx = π. [ 4x ] = -2 -2 π. [8 - (- 8 )] = π. 16 = 16. π u3 Y y=2 -2 -1 0 1 2 X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

RADICAL ENGENDRA CUENCO b Volumen =  . ∫ f 2 (x) dx a Hallar el volumen que engendra la función y = √x al girar alrededor del eje OX entre x = 0 y x = 2 4 4 V = π . ∫ (√x) 2 dx = π. ∫ x dx = 0 0 x2 4 = π. [----] = π. 16/2 = 8.π u3 2 0 2 y= √x 0 1 2 3 4 X -2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

FUNCIÓN LINEAL ENGENDRA CONO b Volumen =  . ∫ f 2 (x) dx a Hallar el volumen que engendra la función y = x al girar alrededor del eje OX entre x = - 2 y x = 2 2 x3 2 V = π . ∫ x2 dx = π. [ ---- ] = -2 3 -2 π. [8 / 3 - (- 8 /3 )] = π. ( 16 / 3)= = 5’33.π unidades cúbicas y=x -2 -1 0 1 2 X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

CUADRÁTICA ENGENDRA SILLA b Volumen =  . ∫ f 2 (x) dx a Hallar el volumen que engendra la función y = x2 al girar alrededor del eje OX entre x = - 2 y x = 2 2 x5 2 V = π . ∫ (x2)2dx = π. [ ---- ] = -2 5 -2 π. [32 / 5 - (- 32 / 5 )] = π. ( 64 / 5)= = 12’8.π u3 4 y= x2 -2 -1 0 1 2 X -4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

ELIPSE ENGENDRA BALÓN RUGBY Hallar el volumen que engendra la elipse de ecuación: x2 y2 ----- + ------ = 1 25 16 a) Al girar en torno al eje OX. b) Al girar en torno al eje OY. RESOLUCIÓN COMÚN En ambos casos la figura que se origina al girar la elipse es un “balón de rugbi”. En el primer caso el volumen será en el intervalo de x: (-5, 5). En el segundo caso el volumen será en el intervalo de y: (-4, 4). 4 -5 0 5 X -4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

Matemáticas 2º Bachillerato C.S. RESOLUCIÓN AL GIRAR EN TORNO AL EJE OX Despejando y de la ecuación: x2 y2 ----- + ------ = 1  16.x2 + 25.y2 = 400 25 16 a) Al girar en torno al eje OX. y = [f(x)] = √((400 – 16.x2) / 25) 5 5 V = π. ∫ f 2(x) dx = π. ∫ ((400 – 16.x2) / 25) dx = -5 -5 5 V = (π /25).[400.x – 16. x3/3] = -5 V = (π /25).{[400.5 – 16. 53/3] – [400.(-5) – 16. (-5)3/3]} = V = (π /25).{[2000 – 2000/3] – [– 2000 + 2000/3]} = V = (π /25).[4000 – 4000/3] = (π /25).[8000/3] = V = 320.π /3 = 106,67. π u3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

Matemáticas 2º Bachillerato C.S. RESOLUCIÓN AL GIRAR EN TORNO AL EJE OY Despejando x de la ecuación: x2 y2 ----- + ------ = 1  16.x2 + 25.y2 = 400 25 16 b) Al girar en torno al eje OY. x = [f(y)] = √((400 – 25.y2) / 16) 4 4 V = π. ∫ f 2(y) dy = π. ∫ ((400 – 25.x2) / 16) dy = -4 -4 4 V = (π /16).[400.y – 25. y3/3] = -4 V = (π /16).{[400.4 – 25. 43/3] – [400.(-4) – 25. (-4)3/3]} = V = (π /16).{[1600 – 1600/3] – [– 1600 + 1600/3]} = V = (π /16).[6400/3] = V = 400.π /3 = 133,33. π u3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.