SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES U.D. 5 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

INECUACIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES U.D. 5.9 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Inecuaciones POLINÓMICAS Una inecuación polinómica es la que tras pasar todos los términos a un solo lado, la expresión resultante es un polinomio. P(x) ≤ 0 ; P(x) < 0 ; P(x) ≥ 0 ; P(x) > 0 Para resolverlas se hallan las raíces, tomada la expresión como una ecuación. Luego se factoriza el polinomio característico: P(x) = (x - x1).( x - x2 ).(x – x3). … Y por último se halla el signo de cada factor en cada uno de los siguientes intervalos: (-oo, x1), ( x1 , x2 ), ( x2, x3 ), …, (xn , +oo) La solución será un intervalo abierto o cerrado si las raíces halladas, x1, , x2 , … pertenecen o no a la solución del sistema. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejemplo_1 Resuelve la inecuación: x3 – 5x2 - x + 5 < 0 Se hallan las TRES raíces por Rufinni: x1 = 1 , x2 = - 1 , x3 = 5 Se factoriza el polinomio: (x + 1 ).( x - 1 ).( x – 5) < 0 Se halla el signo de cada factor: - oo - 1 1 5 +oo ( x +1 ) - + + + - - + + ( x - 1 ) - - - + ( x – 5 ) Productos - + - + Solución = ( - oo, - 1 ) U ( 1, 5 ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejemplo_2 Resuelve la inecuación: x4 – 5x2 + 4 ≥ 0 Se hallan las cuatro raíces por Rufinni: x1=1 , x2 =-1 , x3 = 2, x4=-2 Se factoriza el polinomio: (x + 1 ).( x - 1 ).( x – 2) .( x + 2) ≥ 0 Se halla el signo de cada factor: - oo - 2 - 1 1 2 +oo ( x +1 ) - - + + + ( x - 1 ) - - - + + - + + + + ( x + 2 ) - - - - + ( x – 2 ) Productos + - + - + Solución = ( - oo, - 2 ] U [ -1, 1 ] U [2, +oo) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejemplo_3 Resuelve la inecuación: x4 – 1 < 0 Se hallan las cuatro raíces por Ruffini: x1=1 , x2 = -1 , x3 = No, x4= No Se factoriza el polinomio: (x + 1 ).( x – 1 ).( x2 + 1) < 0 Se halla el signo de cada factor: - oo - 1 1 +oo ( x + 1 ) - + + ( x – 1) - - + + + + ( x2 + 1 ) Productos + - + Solución = ( - 1 , 1 ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Inecuaciones RACIONALES Una inecuación racional es aquella en la que intervienen fracciones algebraicas. Para resolverlas se opera dejando a un lado la fracción y al otro lado el cero. Luego se factorizan los polinomios numerador y denominador: (x - x1).( x - x2 ).(x – x3).… ----------------------------------- < 0 ; [ ó > , ó ≤ , ó ≥ ] (x - x4).( x - x5 ). … Y por último se halla el signo de cada factor en cada uno de los siguientes intervalos: (-oo, x1), ( x1 , x2 ), ( x2, x3 ), …, (xn , +oo) La solución será un intervalo abierto o cerrado si las raíces halladas, x1, , x2 , … pertenecen o no a la solución del sistema. Nunca se incluyen en la solución las raíces del denominador. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT EJEMPLO 1 2 ------- + 3 ≥ 4 x + 1 SOLUCIONES: 2 + 3.(x+1) ----------------- - 4 ≥ 0 2 + 3.(x+1) – 4.(x + 1) ----------------------------- ≥ 0 1 – x -------- ≥ 0  Las raíces de numerador y denominador son el 1 y el -1 x + 1 Se estudia el signo en (-oo, -1), (- 1, 1] y [1, +oo) Solución = ( - 1 , 1 ] @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT EJEMPLO 2 x 3 – x2 -------- + --------------- ≥ 0 x + 2 x2 – 4 SOLUCIÓN: (x – 2).x + 3 – x2 ------------------------- ≥ 0 x2 – 4 – 2.x + 3 ------------- ≥ 0 2.(1,5 – x) ----------------------- ≥ 0 (x + 2).(x – 2) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Como las raíces son: x = 1,5 ,, x = 2 ,, x = - 2 Hay que estudiar el signo de numerador y denominador en los intervalos: (-oo, - 2), (- 2, 1,5), (1,5, 2) y (2, +oo) - oo - 2 1,5 2 +oo ( 1,5 - x ) + + - - - + + + ( x + 2 ) - - - + ( x – 2 ) Productos + - + - Solución = ( - oo, - 2 ) U [ 1,5, 2 ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT