Andrea Decidel Jorge González Guzmán IMA-PUCV Un modelo simple de depredación sobre juveniles: comparación tiempo discreto-tiempo continuo Andrea Decidel Jorge González Guzmán IMA-PUCV
Ejemplo de presas
depredador
Modelo en tiempo discreto: PRESA: X : tamaño pobl. juveniles Y : tamaño pobl. adultos Z: tamaño pobl. depredadores X’: sucesor de x , análogamente y’ , z’ Depredador:
El sistema de tiempo discreto queda:
Invariancia primer octante: Puntos de equilibrio: Z = 0 (en ausencia de depredadores): (0,0,0) el punto de equilibrio trivial Si (caso singular: ) : hay una recta de equilibrio:
x = y =0 : en ausencia de presas: En el interior del octante (equilibrios de coexistencia) : solo si
Estabilidad local: Hay un valor propio Por lo tanto es siempre inestable (caso no degenerado )
El caso singular Tiene los mismos valores propios que el caso anterior: luego es siempre inestable.
El equilibrio (0,0,a) Los valores propios son :
Luego, es estable si acaso El punto de equilibrio de coexistencia:
La ecuación característica es de tercer grado: Truco:
Este punto es siempre inestable
El análogo de tiempo continuo
El sistema de ec. diferenciales queda: Invariancia del primer octante:
( plano z=0 es invariante)
recta de equilibrio en ausencia de depredadores Puntos de equilibrio: (0,0,0) caso singular: recta de equilibrio en ausencia de depredadores (0,0,a) equilibrio en ausencia de presas
Equilibrio de coexistencia: Existe si se cumplen las condiciones:
La estabilidad local: Si : Entonces (0,0,a) es localmente asintóticamente estable.