Paralelismo, semejanza y suma de progresiones geométricas

Relación de semejanza: Recordemos que figuras semejantes planas son aquéllas que tienen todos sus ángulos iguales y sus lados homólogos proporcionales. Si los ángulos de la figura se recorren todos en un mismo sentido, los lados homólogos son aquéllos que se les oponen. Ejemplo: las figuras A, B, C, D, E y F y A´, B´, C´, D´, E´ y F´ los lados homólogos son AB y A´B´, BC y B´C´, CD y C´D´, DE y D´E´, EF Y E´F´ y FA y F´A´. Dichas figuras son semejantes si los respectivos ángulos A = A´, B = B´, C = C´, D = D´; E = E´ y F = F´. B A F C E D A´ B´ F´ E´ D´ C´

Construcción gráfica de progresiones geométricas En triángulos, la caracterización de la semejanza es más fácil. Se demuestra (queda como ejercicio) que dos triángulos son semejantes si tienen: a) dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual, b) los tres lados homólogos proporcionales o c) dos de sus ángulos iguales.

Construcción gráfica de progresiones geométricas Progresiones geométricas: Recordemos que progresiones geométricas son aquellas sucesiones de números en que un término de la progresión es igual al que le precede multiplicado por un número constante q llamado razón. Una progresión geométrica tiene un número n finito de términos. Puede también tener un número infinito de términos, pero en este caso recibe el nombre de Serie Geométrica. Es fácil demostrar (y queda como ejercicio) que si la razón de una serie geométrica es menor que uno, la serie converge, es decir, la suma de todos los términos de la serie tiene un valor finito. Lo nuevo que mostraremos a continuación es que dichas sumas pueden obtenerse no solamente por medios aritméticos, sino también utilizando gráficos.

Construcción gráfica de progresiones geométricas Dadas dos rectas concurrentes r1 y r2, ubicamos sobre ellas tres puntos cualesquiera A1, A2, B1. Para ubicar sobre r1 un cuarto punto B2, trazamos por A2 una paralela a A1B1 que intersecta a r1 en B2. A3 se obtiene intersectando con r1 una recta paralela a B1A2 Y se han formado así dos triángulos A1B1A2 y A2B2A3; es fácil probar que estos triángulos son semejantes (Ejercicio). r2 r1 P A2 B1 A1 B2 A3

Construcción gráfica de una progresión geométrica B1 A1 B2 A3 T1 T2 T3 T4 T5 B5 B3 B4 A4 A5 A6 De la misma manera se pueden inscribir en r1 y r2,otros triángulos T3, T4, T5 … siendo todos ellos semejantes y con la misma razón de semejanza q. A2B2 = q A1B1 A3B3 = q A2B2 A4B4 = q A3B3 A5B5 = q A4B4 ---------------- Por consiguiente los lados homólogos de los triángulos forman progresiones geométricas de razón q. Obsérvese que la razón de semejanza es menor que 1. Ejercicio: hay otros triángulos semejantes. Detectarlos.

Suma de una progresión geométrica B4 B3 B2 B1 A5 A4 A3 La suma A1A2 + A2A3 + A3A4 + A4A5 de los términos de la progresión es obviamente el segmento . Igual cosa sucede con la progresión construida sobre la recta r2. Para encontrar la suma de las otras dos progresiones geométricas se procede como sigue: A2 A1A5 A1 r1

Suma de una progresión geométrica B3 B4 B2 B1 C3 C4 C2 A1 C5 r4 Suma de una progresión geométrica Por A1 se traza r3, recta paralela a y por P una paralela r4 a hasta intersectar r4 en . Se procede en forma análoga obteniendo sobre r4 los puntos C3 , C4, C5. Obviamente los segmentos a B1A1, B2A2, B3A3,… son respecti-vamente iguales C1C2, C2C3, C3C4, … De ahí que el segmento C1C5 representa la suma de los segmentos A1B1, A2B2, A3B3, … De manera similar se demuestra que los segmentos B1A2+B2A3 + … se proyectan sobre r3. Demostrarlo como ejercicio. Ejercicio: Demostrar que NO + QR + ST +UV = MY

Suma de series geométricas convergentes P r3 A3 A4 A2 C1 A5 B3 B4 B2 B1 C3 C4 C2 A1 C5 r4 Si construimos más triángulos de la misma manera que los anteriores, éstos son más pequeños cada vez y más próximos al punto P. En el límite, si sumamos todos los segmentos paralelos a B1A1 sobre r4 obtendremos como resultado el segmento C1P. Sucede lo mismo con las rectas paralelas a B1A2. Demostrarlo como ejercicio.

Suma de series geométricas convergentes P r3 A3 A4 A2 C1 A5 B3 B4 B2 B1 C3 C4 C2 A1 C5 r4 Concluyendo, la suma de las series geométricas constituidas por los segmentos entre las rectas r1 y r2 está representada por la poligonal A1C1P.

Suma de series geométricas convergentes Ejercicio: a) Construir gráficamente una serie geométrica cuyo término inicial es a y razón q < 1; b) Encontrar el quinto término de la serie; c) Hallar la suma de todos los términos de la serie. a ka r1 r2 A1 B1 C1 D2 E2 D1 A2 B2 C2 E1 F1 P Quinto término: E1F1 Suma total: A1P

Generalización para varias series geométricas convergentes Así como inscribimos dos series geométricas en dos rectas r1 y r2, en forma general pueden inscribirse n series en n rectas concurres r1, r2, … rn. r1 r2 P A1 r3 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 Q R Construcción de la poligonal de las sumas para tres rectas r1, r2, r3: 1. A1A2 se prolonga hasta intersectar a r3 en R. 2. Por R se traza r4, paralela a A2A3. 3. A1A3 se prolonga hasta intersectar a r4 en el punto Q. La poligonal se cierra con el segmento QP. 4. Cada segmento es la suma de la serie de lados paralelos a los mismos. Demostrarlo como ejercicio. r4