Matrices

Definición: Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números que forman la matriz se llaman elementos y se escriben dentro de paréntesis. Las matrices se identifican con letras mayúsculas. Ejemplos de matrices: Las líneas horizontales de números se conoce como filas y las verticales como columnas. fila columna

Una matriz puede tener cualquier número finito de filas y de columnas. Al número de filas por el número de columnas de una matriz se le llama el orden o tamaño de la matriz. Matriz 2 x 2 Matriz 3 x 3 Matriz 2 x 3 Una matriz puede tener cualquier número finito de filas y de columnas.

Definición de matriz mxn: Un arreglo rectangular de números que tiene m filas y n columnas se conoce como una matriz m x n. Los elementos de la matriz se expresan de la forma aij donde i corresponde a la posición de la fila y j corresponde a la posición de la columna.

Matriz fila: Es una matriz que tiene una sola fila. Ejemplo: Su tamaño es 1x4 Matriz columna: Es una matriz que tiene una sola columna. Ejemplo: Su tamaño es 3x1

Matrices iguales Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y los mismos elementos. Ejemplo: Matriz traspuesta La transpuesta de una matriz mxn, A es la matriz nxm cuya fila i es la columna j de A. La transpuesta de A se denota por AT Ejemplo:

Matrices especiales: Matriz cero Una matriz mxn cuyas entradas son todas ceros de conoce como la matriz cero y se denota por 0nxm o solo por 0. Tenga cuidado que no confunda la matriz cero con el número cero. Ejemplo: La matriz cero 2x3 es; 2. Matrices cuadradas Una matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas. Ejemplo: Matriz cuadrada 3x3 Matriz cuadrada 2x2

3. Matriz diagonal Una matriz cuadrada nxn cuyos elementos son todas ceros excepto los elementos de la diagonal se llama matriz diagonal. Ejemplo: Una matriz diagonal 2x2 es; Una matriz diagonal 3x3 es;

4. Matrices triangularizadas Una matriz se dice que está triangularizada por arriba si todas las entradas bajo la diagonal principal son cero. Una matriz se dice que está triangularizada por abajo si todas las entradas sobre la diagonal principal son cero. Ejemplos: Una matriz triangularizada por arriba es: Una matriz triangularizada por abajo es;

5. Matriz identidad Una matriz cuadrada cuyas entradas son todas cero excepto las de la diagonal principal que tiene entradas iguales a 1, se llama matriz identidad. Existe una matriz identidad para cada tamaño de matriz cuadrada nxn. Ejemplos: La matriz identidad 2x2 es; La matriz identidad 3x3 es; La matriz identidad 4x4 es;

Operaciones con matrices: 1. Suma de matrices La suma de matrices se obtiene sumando los elementos correspondientes de las dos matrices. Observe que la suma está bien definida si las dos matrices tienen el mismo tamaño. Ejemplos: Encuentra la suma las matrices.

Propiedades de matrices nxm: 1. A + B = B + A, propiedad conmutativa. 2. A + (B + C) = (A + B) + C, propiedad asociativa 3. A + 0 = 0 + A , propiedad de identidad 4. (A + B)T = AT + BT propiedad de las transpuestas

Práctica: a. Verifica que A + B = B + A. b. Verifica que A + (B + C) = (A +B) + C. c. Verifica que A + 0 = A.

Práctica - - - Solución a. Verifica que A + B = B + A. Por lo tanto A + B = B + A

b. Verifica que A + (B + C) = (A +B) + C. c. Verifica que A + 0 = A. Por lo tanto A + 0 = A

Definición de la multiplicación escalar: Si es una matriz mxn y k es un número real (un escalar) definimos y denotamos la multiplicación escalar de A y k por, . La multiplicación escalar se obtiene multiplicando cada elemento de la matriz A por el escalar k.

Ejemplo: El producto de las matrices está dada por:

Encuentra los productos AB y BA de las siguientes matrices. Definición de la multiplicación de matrices Sea A una matriz de tamaño nxp,y sea B una matriz de tamaño pxm. Definimos y denotamos la multiplicación de A y B por A.B = C, donde C es la matriz de tamaño nxm cuyas entradas cij son el producto interno de la fila i por la columna j. Ejemplo: Encuentra los productos AB y BA de las siguientes matrices.

BA no está definida porque ________________ ______________________________________

Propiedades de la multiplicación de matrices Si A, B y C son matrices para las cuales la multiplicación esta definida y k es un número real (escalar): 1. A(BC) = (AB)C propiedad asociativa 2. A( B + C ) = AB + AC propiedad distributiva 3. ( A + B )C = AC + BC propiedad distributiva 4. (kA)B = k(AB) asociativa escalar

Práctica Demuestren las siguientes igualdades.

9. ¿Qué tamaño tienen las matrices AB y BA si A es una matriz 3x4 y B es una matriz 4x3?

La inversa de una matriz La matriz identidad La matriz cuadrada diagonal nxn cuyos elementos en la diagonal principal son todas 1 y las demás entradas son todas 0 se conoce como la matriz identidad nxn. La inversa de una matriz Sea A una matriz cuadrada nxn. Si existe una matriz B, nxn tal que AB = BA = In, decimos que B es la matriz inversa de A y la denotamos por B = A-1.

Práctica. Verifiquen que: a. La matriz inversa de es b. La matriz inversa de es