PROPORCIONALIDAD U. D. 3 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES U. D. 3.5 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Repartos Inversamente Proporcionales Como en dos magnitudes inversamente proporcionales se cumple siempre que: a.a’ = k  2·5 = 10 1 2 Podemos poner que a : ---- = k  ---- = 10 a’ 1 ---- 1 5 Luego a y ---- son directamente proporcionales. a’ Repartir una cantidad en partes inversamente proporcionales a los números 10, 5 y 2 es equivalente a repartir dicha cantidad en partes directamente proporcionales a 1 / 10 = 0,1 , 1 / 5 = 0,2 y 1 / 2 = 0,5 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Repartos Inversamente Proporcionales EJEMPLO 1 Se venden tres máquinas por 1700 €, en razón inversamente proporcional a la antigüedad de cada una, que es de 10,20 y 50 años respectivamente. ¿Cuánto cuesta cada una?. Repartir de modo inversamente proporcional equivale a repartir de forma directamente proporcional a sus inversos. Por tanto, tenemos: a b c 1700 ------- = ------- = -------- = ----------------------- = k 1/10 1/20 1/50 1/10+1/20+1/50 Como k =1700 /(0,1+0,05+0,02) = 1700 / 0,17 = 10000 a = k.0,1 = 10000.0,1 = 1.000 b= k.0,05 = 10000.0,05 = 500 c= k.0,02 = 10000.0,02 = 200 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Repartos Inversamente Proporcionales EJEMPLO 2 Un padre reparte 100 € entre sus tres hijos, en razón inversamente proporcional a los días que han llegado tarde a casa, que son 2, 5 y 8 días respectivamente. ¿Cuánto les corresponde a cada uno?. Repartir de modo inversamente proporcional equivale a repartir de forma directamente proporcional a sus inversos. Por tanto, tenemos: a b c 100 ------- = ------- = -------- = ----------------------- = k 1/2 1/5 1/8 1/2+1/5+1/8 Como k =100 / (0,5+0,2+0,125) = 100 / 0,825 = 121,21 a = k . 0,5 = 121,21.0,500 = 60,60 € b= k . 0,2 = 121,21.0,200 = 24,24 € c= k.0,125 = 121,21.0,125 = 15,15 € @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Repartos Inversamente Proporcionales EJEMPLO 3 El área de un rectángulo es de 120 m2. Si el largo del mismo puede ser de 20 m, de 40 m o de 60 m, ¿cuánto medirá el ancho en cada caso?. A mayor largo, menor ancho ; y el producto de las magnitudes debe ser el mismo, puesto que el rectángulo es único. Estamos pues en repartos inversamente proporcionales, donde k = 120. Por tanto, tenemos: a b c ------- = ------- = -------- = k = 120 1/20 1/40 1/60 a = k · 0,05 = 120 · 0,05 = 6 m b = k · 0,025 = 120 · 0,025 = 3 m c = k · 0,016667 = 120 · 0,016667 = 2 m @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Repartos Inversamente Proporcionales EJEMPLO 4 Se reparte una herencia entre cuatro herederos de forma inversamente proporcional a los números 2, 3, 4 y 5. ¿cuánto les corresponde a cada uno, si sabemos la suma de la de menor y mayor cuantía ha sido de 300.000 €?. Tenemos: a b c d S ------- = ------- = -------- = ---------- = ----------------------- = k 1/2 1/3 1/4 1/5 ½ + 1/3 * ¼ * 1/5 a b 300.000 300.000 1.800.000 ------- = ------- = ------------- = ------------- = ---------------- = 360.000 = k 1/2 1/3 ½+1/3 5 / 6 5 a = k·1/2 = 360.000 / 2 = 180.000 € b = k·1/3 = 360.000 / 3 = 120.000 € c = a·(1/4) / (1/2) = 180.000 / 2 = 90.000 € d = a·(1/5) / (1/2) = 360.000 / 5 = 72.000 € @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Repartos Mixtos Proporcionales EJEMPLO 5 Tres socios aportan unos capitales de 200.000 € a finales de Marzo, 400.000 € a finales de Junio y 500.000 € a finales de Septiembre a una empresa, cuyos beneficios ese año han sido de 300.000 €. ¿cuánto les corresponde a cada uno de los beneficios conseguidos?. Tiene que ser un reparto directamente proporcional al capital que han aportado cada uno, pero también al tiempo que han tenido invertido dicho capital en la empresa, que ha sido de 9, 6 y 3 meses respectivamente. a b c 300000 ------------- = ------------- = ------------- = ------------------------------------------- = k 200000·9 400000·6 500000·3 1800000 + 2400000 + 1500000 K = 300000 / 5700000 = 0,0526315 a = k·1800000 = 0,0526215·1800000 = 94 736,84 € b = k·2400000 = 0,0526215·2400000 = 126 315,79 € c = k·1500000 = 0,0526215·1500000 = 78 987,37 € Y se puede comprobar que la suma da 300 000 € @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Repartos Mixtos Proporcionales EJEMPLO 6 Un abuelo reparte 200 € en propinas a sus tres nietos, de forma directamente proporcional a sus edades, que son de 3, 9 y 12 años; pero a la vez inversamente proporcional a las palabrotas que han proferido, que son de 27, 42 y 60 respectivamente. ¿Qué propina corresponde a cada uno?. Tiene que ser un reparto mixto, d.p. a los años e i.p. a las palabrotas. a b c 200 200 -------- = --------- = ---------- = --------------------------- = -------------------------- = k 3 / 27 9 / 42 12 / 60 1 / 9 + 3 / 14 + 1 / 5 (70+135+126) / 630 K = 200·630 / (70+135+126) = 126000 / 331= 380,6647 a = k·3 / 27 = 380,6647 ·1/9 = 42,30 € b = k·9 / 42 = 380,6647 ·3 / 14 = 81,57 € c = k·12 / 60 = 380,6647 · 1 / 5 = 76,13 € Y se puede comprobar que la suma da 200 € @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Repartos Mixtos Proporcionales EJEMPLO 7 Un empresario reparte una bonificación entre sus cuatro empleados de 4000 €, de forma doblemente inversamente proporcional a los números 3, 10, 5 y 8 por una parte y a los números 12, 8, 10 y 4 por otra parte, correspondientes a los cuatro empleados respectivamente . ¿Qué bonificación corresponde a cada uno?. Tiene que ser un reparto doblemente i.p. a b c d 4000 --------- = --------- = ---------- = ------- = ------------------------------------------ = k 1/3·12 1/10·8 1/5·10 1/8.4 0,0278+0,0125+0,02+0,03125 K = 4000·0,0519277 = 43702,58 a = k·1 / 36 = 43702,58 · 0,02777 = 1 213,96 € b = k·1 / 80 = 43702,58 · 0,0125 = 546,28 € c = k·1 / 50 = 43702,58 · 0,02 = 874,05 € d = k·1 / 32 = 43702,58 · 0,03125 = 1 365,71 € Y se puede comprobar que la suma da 4 000 € @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO