FUNCIONES ELEMENTALES U.D. 6 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

ASIGNACIÓN DE FUNCIONES U.D. 6.11 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT ¿Cómo se asigna una función a una situación real?. 1.- Si los datos de una variable crecen (x) y los datos de la otra variable (y) crecen o disminuyen de forma proporcional, el resultado del modelo matemático es una función lineal: y = m.x + n Tendríamos que hallar los valores de m y n. 2.- Si los datos de una variable crecen (x) y los datos de la otra variable (y) crecen o disminuyen de forma inversamente proporcional, el resultado del modelo matemático es una función racional: y = b + k / (x – a) Tendríamos que hallar los valores de a, b y k 3.- Si los datos de una variable crecen (x) y los datos de la otra variable (y) crecen o disminuyen de forma no proporcional, el resultado del modelo matemático es una función cuadrática: y = a.x2 + b.x + c Tendríamos que hallar los valores de a, b y c 4.- Si los datos de una variable crecen (x) y los datos de la otra variable (y) crecen o disminuyen de forma muy rápida, el resultado del modelo matemático es una función exponencial: y = k.ab.x+c Tendríamos que hallar los valores de k, b y c 4.- Si los datos de una variable crecen (x) y los datos de la otra variable (y) crecen de una forma lenta y cada vez menor, el resultado del modelo matemático es una función logarítmica: y = k.log (a.x + b) Tendríamos que hallar los valores de k, a y b @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

TABLAEXPRESIÓN ANALÍTICA Si nos dan una tabla de valores con tres o más pares (x, y) correspondientes a una función cuadrática, podemos obtener la expresión: y = a.x2 + b.x + c Con sólo resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas aplicando el Método de Gauss, que ya se ha visto y practicado En la resolución del sistema las incógnitas serán ahora los parámetros a, b y c desconocidos. y1 = a.x12 + b.x1 + c y2 = a.x22 + b.x2 + c y3 = a.x32 + b.x3 + c Una vez obtenida la función cuadrática podremos interpolar y extrapolar valores que no están en la tabla proporcionada. Eso es lo que se llama INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA, que ya se ha visto y practicado. Para ello: TABLA DE VALORES  EXPRESIÓN ANALÍTICA @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

GRÁFICAEXPRESIÓN ANALÍTICA y Si nos dan la gráfica de una función cuadrática podemos en ciertos casos obtener su expresión analítica sin recurrir al método de Gauss. y = a.x2 + b.x + c Para ello nos deben dar, al menos, las coordenadas de tres de los cuatro puntos clave de una parábola: El vértice: V(xv, yv) Los puntos de corte con OX: Pc(x1, 0) y Pc(x2, 0) Punto de corte con OY: Pc(0, yc) (0, yc) x1 x2 V(xv, yv) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

CASO 1: Cortes con OX y Vértice Sea el vértice V(xv, yv) Cortes: Pc(x1, 0) y Pc(x2, 0) Sea la expresión analítica: y = a.x2 + b.x + c Al ser x1 y x2 ceros de la función, podemos poner: y = k.(x-x1).(x-x2) Y determinar el valor de k. EJEMPLO_1 y = k.(x-2).(x-6)  y = k.(x2 – 8.x + 12) Tomando el vértice conocido: - 3 = k.(42 – 8.4 + 12)  - 3 = - 4.k k = 3 / 4  f(x) = 0,75.x2 – 6.x + 9 y 2 6 V(4, -3) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

CASO 1: Cortes con OX y Vértice EJEMPLO_2 Sea y=k.(x-x1).(x-x2) y = k.(x-1).(x-7) y = k.(x2 – 8.x + 7) Tomando el vértice conocido: 9 = k.(42 – 8.4 + 7) 9 = - 9.k k = - 9 / 9 = - 1 f(x) = - 1.(x2 – 8.x + 7) f(x) = - x2 + 8.x – 7 1 7 V(4, 9) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

CASO 2: Cortes con OX y con OY Sea el corte con OY: Pc(0, yc) Cortes: Pc(x1, 0) y Pc(x2, 0) Sea la expresión analítica: y = a.x2 + b.x + c Al ser x1 y x2 ceros de la función, podemos poner: y = k.(x-x1).(x-x2) Y determinar el valor de k. EJEMPLO_1 y = k.(x-2).(x-12)  y = k.(x2 – 14.x + 24) Tomando el otro corte conocido: 6 = k.(02 – 14.0 + 24)  6 = 24.k k = 6 / 24 = 1/4  f(x) = 0,25.x2 – 3,5.x + 6 Pc(0, 6) 2 12 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT CASO 2: Cortes con OX y OY y EJEMPLO_2 Sea y=k.(x-x1).(x-x2) y = k.(x +3).(x - 9) y = k.(x2 – 6.x – 27) Tomando el otro corte conocido: 9 = k.(02 – 6.0 – 27) 9 = - 27.k k = - 9 / 27 = - 1/3 f(x) = - (1/3).(x2 – 6.x – 27) f(x) = - (1/3).x2 + 2.x + 9 Pc(0, 9) - 3 9 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

CASO 3: Corte con OY y Vértice Sea el corte con OY: Pc(0, yc) Sea el vértice V(xv, yv) Sea la expresión analítica: y = a.x2 + b.x + c Tomando el punto de corte: Pc(0, yc) yc = a.02 + b.0 + c  Luego c = yc Tomando ahora el vértice: yv = a.xv2 + b.xv + yc Vemos que tenemos una ecuación con dos incógnitas, a y b. No podemos determinar sus valores. Hay infinitas soluciones, infinitas parábolas que cumplen la ecuación. Pc(0, 4) V(2, -4) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

CASO 3: Corte con OY y Vértice EJEMPLO_1 c = 4 para x=0 Tomando el vértice: - 4 = a.22 + b.2 + 4  4.a + 2.b = - 8 2.a + b = - 4  b = - 2.a – 4  f(x) = a.x2 + (– 2.a – 4).x + 4 Vemos que para cada valor de a tendremos una función cuadrática. Por ahora este caso sería indeterminado. Más adelante, con el empleo de las DERIVADAS, podremos terminar de resolverlo gracias a que el vértice es un máximo o mínimo, y en dichos puntos el valor de la derivada es cero Calculamos la derivada y la igualamos a cero: 2ax – 2.a – 4 =0 Como x=2  4.a – 2.a – 4 = 0  a = 2 Luego f(x) = 2.x2 – 8.x + 4 y Pc(0, 4) V(2, -4) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT